Forum de mathématiques - Bibm@th.net

rajinus

Membre

Inscription : 25-01-2026

Messages : 1

Tribus et mesures

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider sur la question suivante:
-----------------
Soit le plan R² et D une surface bornée.
Pour tous k, on recouvre le plan de carrés de côté 1/2^k.
On dénombre les carrés à l'intérieur de D, soit n_k, et on dénombre ceux qui touchent D (intersection avec l'adhérence de D), soit m_k.
On obtient 2 suites: x_k = n_k/2^k et y_k = m_k/2_k.
Elles sont adjacentes, donc convergentes vers a et b, donc: a < b (ou égaux).
Si a = b, on dit que D est quarrable.
On démontre relativement facilement que la tribu engendrée par les domaines quarrables se situe (pour la double inclusions) entre la tribu borélienne et la tribu complétée de Lebesgue..
Question: est-ce que tout domaine quarrable est un borélien?... ou non?
Merci...
Cordialement

Glozi

Invité

Re : Tribus et mesures

Bonjour,
À mon avis, il faut plutôt regarder $x_k=\frac{n_k}{4^k}$ et $y_k =\frac{m_k}{4^k}$ (en effet un carré de côté $1$ contient $4^k$ carrés de côté $2^{-k}$).

Voici alors un contre exemple :
Posons $E\subset [0,1]$ un ensemble non borélien. Posons $D=E\times \{0\}\subset \mathbb{R}^2$ alors $D$ n'est pas borélien. Mais $D$ est quarrable car $0\leq \frac{n_k}{4^k}\leq \frac{m_k}{4^k} \leq \frac{2^k+2}{4^k}\to 0$.

Si tu veux un exemple un peu plus "2-dimensionnel" tu peux prendre le carré $[0,1]^2$ et remplacer l'un des côtés de ce carré par un ensemble $E\subset [0,1]$ non borélien.
Bonne journée

tajines

Invité

Re : Tribus et mesures

Merci pour la réponse...
Effectivement, je me suis trompé, c'est effectivement 1/2^2k et non 1/2^k.
Pour le reste, merci encore et je vais étudier ça ...
Bonne nuit!...

tajine

Invité

Re : Tribus et mesures

Merci pour la réponse:
1) OK pour D = Ex0 et la majoration (sauf x^k = 0 pour tous les k car l'intérieur d'un segment est vide!... je me trompe?), donc on a bien un ensemble non borélien et quarrable!
2) En revanche, même si je vois bien D = E x (O,1) avec E non borélien, D est bien non-borélien, mais je n'arrive pas à effectuer les dénombrements des pavés pour vérifier la quarrabilité!...
3) Pendant que j'y suis: l'autre inclusion (de la tribu engendrée par les quarrable est incluse dans la tribu de Lebesgue) est-elle stricte (également)...
Merci beaucoup...
Cordialement

Glozi

Invité

Re : Tribus et mesures

Bonjour,
1) J'ai juste écrit $0\leq \frac{n_k}{4"k}$ ce qui reste vrai pour $n_k=0$ (et tu as raison c'est effectivement le cas !)
2) Attention ! Je n'ai pas dit $E\times [0,1]$ j'ai dit $[0,1]^2\setminus [0,1]\times \{0\}\cup E\times \{0\}$ (on remplace juste un côté d'un carré, pas l’intérieur !).
3) Pour cette question je ne sais pas ! Je ne connais pas bien les Lebesgue-mesurables non boréliens...
Bonne journée