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gebrane

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Etude d'une suite

Au jour 23 de l'avent 2025, j'ai proposé cette question

Question   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle bornée telle que  edit correction typo
$$u_n - (u_n)^2 \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$$ Que peut-on dire de la suite $(u_n)$ ?

Dernière modification par gebrane (23-12-2025 16:37:35)

Reouven

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Re : Etude d'une suite

Bonjour,
Juste pour l'énoncé précédent avant correction typo ($u_n - u_{n^2}) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$) : on ne pouvait bien entendu pas en déduire que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergeait forcément, avec ke simple contre-exemple : $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, définie par
$$u_n = 1 + (-1)^{n \% 2}$$
où $n \% 2=0$ si $n$ est pair, et $1$, si $n$ est impaire.

Dernière modification par Reouven (23-12-2025 19:27:04)

Reouven

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Re : Etude d'une suite

Mais avec cette suite : $u_n - (u_n)^2 \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$ aussi, il me semble.
On pourrait ajouter $0 \lt u_n \lt 1$, par exemple, mais je ne crois pas non plus que ça permette de dire que la suite converge.

Si c'est ça, il faudrait que tu précises une condition, ou peut-être voir ce qu'on pourrait dire de $\sum u_n$, avec $u_n=o(1/n)$ (?), plutôt que de $u_n$ ?

Dernière modification par Reouven (23-12-2025 19:52:23)

gebrane

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Re : Etude d'une suite

La question ne demande pas de démontrer que la suite est convergente.

Reouven

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Re : Etude d'une suite

J'ai bien vu. C'est parceque dans un message de l'autre forum, tu as évoqué le fait de démontrer que $u_n$ converge. J'ai donc du mal comprendre ce message.

Dernière modification par Reouven (23-12-2025 21:50:09)

gebrane

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Re : Etude d'une suite

Bonjour,

Tu n'as pas bien lu.  Dans l'autre forum, j 'ai dit :
Si  on remplace la condition $u_{n} - (u_n)^2\to 0$  par $$ u_{n+1} - (u_n)^2\to 0$$ alors la suite est nécessairement convergente

Dernière modification par gebrane (24-12-2025 03:14:32)