Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vassillia

Membre

Inscription : 16-09-2023

Messages : 77

Les 2 triangles

Bonjour, pour que Rescassol (ou d'autres) nous fasse une belle démonstration de géométrie

On considère deux triangles quelconques ABC et A’B’C’ situés dans un même plan.
Soient P le point d’intersection des droites (AB) et (A’B’) et P’ celui des parallèles à ces même droites passant par les sommets C et C’.
On définit de façon analogue les points Q et Q’ ainsi que les points R et R’.
Montrer que les droites (PP’), (QQ’) et (RR’) sont concourantes.

Amusez vous bien.

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 351

Re : Les 2 triangles

Bonjour,

En barycentrique avec Matlab:

% Vassillia - 25 Octobre 2025 - Les 2 triangles
%  (BibM@ths)

clc, clear all

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms p q r u v w x y z real

Ap=[p; q; r]; Bp=[u; v; w]; Cp=[x; y; z];

ApBp=Wedge(Ap,Bp); % ApBp=[q*w - r*v, r*u - p*w, p*v - q*u]
BpCp=Wedge(Bp,Cp); % BpCp=[v*z - w*y, w*x - u*z, u*y - v*x]
CpAp=Wedge(Cp,Ap); % CpAp=[r*y - q*z, p*z - r*x, q*x - p*y]

P=Wedge(ApBp,AB); % P=[r*u - p*w; r*v - q*w; 0]
Q=Wedge(BpCp,BC); % Q=[0; u*y - v*x; u*z - w*x]
R=Wedge(CpAp,CA); % R=[p*y - q*x; 0; r*y - q*z]

ParaC=DroiteParalleleBary(C,AB); % ParaC=[1, 1, 0]
ParaA=[0, 1, 1]; ParaB=[1, 0, 1];

ParaCp=DroiteParalleleBary(Cp,ApBp);
% On trouve ParaCp =
% [p*w*y - p*v*z + q*u*z - r*u*y + q*w*y - r*v*y + q*w*z - r*v*z,
% r*u*x - p*w*x - p*v*z + q*u*z - q*w*x + r*v*x - p*w*z + r*u*z,
% p*v*x - q*u*x + p*v*y - q*u*y + p*w*y - q*w*x - r*u*y + r*v*x]
ParaAp=DroiteParalleleBary(Ap,BpCp);
ParaBp=DroiteParalleleBary(Bp,CpAp);

Pp=Wedge(ParaC,ParaCp);
% On trouve:
% Pp=q*u*x - p*v*x - p*v*y + q*u*y - p*w*y + q*w*x + r*u*y - r*v*x;
% p*v*x - q*u*x + p*v*y - q*u*y + p*w*y - q*w*x - r*u*y + r*v*x;
% (x + y + z)*(p*w - r*u + q*w - r*v)]
Qp=Wedge(ParaA,ParaAp);
Rp=Wedge(ParaB,ParaBp);

PPp=Wedge(P,Pp)
% PPp=[-(q*w-r*v)*(x+y+z), (p*w-r*u)*(x+y+z), q*u*x-p*v*x-p*v*y+q*u*y-p*w*y+q*w*x+r*u*y-r*v*x]
QQp=Wedge(Q,Qp); RRp=Wedge(R,Rp);

Nul=Factor(det([PPp; QQp; RRp])) % Nul=0 donc c'est gagné

X=SimplifieBary(Wedge(PPp,QQp)); % Le point de concours
% X=[(u*x+u*y+w*x)*(p+q+r); (q*x+q*y+r*y)*(u+v+w); (r*u+q*w+r*w)*(x+y+z)]
 

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-10-2025 21:07:47)

gebrane

Invité

Re : Les 2 triangles

Bonjour
Avec une méthode niveau lycée ?

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 351

Re : Les 2 triangles

Bonsoir,

Depuis que je suis retraité, j'ignore complètement la notion de niveau.
Sinon, je précise la méthode donnant une droite parallèle à une autre en barycentrique:
La parallèle à $D$ passant par $M$ est donnée par $\Delta=sum(M)*D - D*M$.

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 235

Re : Les 2 triangles

Bonsoir à tous,
Merci Vassillia, je trouve ce problème très intéressant ! D'autant plus qu'ayant fait une figure, je me suis aperçu d'un phénomène que je trouve assez curieux : sur ma figure Geogebra, quand je déplace le point A', je constate que la droite RR' passe par un point fixe qui est son point d'intersection avec la droite B'C', et de même, quand je déplace B' (resp C'), c'est PP' (resp QQ') qui tourne autour de son point d'intersection avec A'C' (resp A'B'). Mais bien entendu, je ne saurais pas l'expliquer !
Bien amicalement, JLB
PS : je me demande, n'y aurait-il pas du Desargues dans ces triangles ?

Dernière modification par jelobreuil (25-10-2025 21:53:32)

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 351

Re : Les 2 triangles

Bonsoir,

Effectivement, la droite $(RR')$ coupe $(B'C')$ en $R_1=[ux+uy+wx;\space y(u+v+w);\space uz+wy+wz]$ qui est indépendant de $A'=[p;\space q;\space r]$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-10-2025 22:10:52)

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 351

Re : Les 2 triangles

Bonsoir,

Une figure:

Cordialement,
Rescassol

Vassillia

Membre

Inscription : 16-09-2023

Messages : 77

Re : Les 2 triangles

Bravo Rescassol, je m'attendais un peu à ta réussite mais il faut le voir comme un compliment et merci à tous pour votre participation.

Je suis sure que la démonstration en calcul barycentrique pourrait passer au lycée même si ce n'est pas vraiment au programme mais c'est un autre débat. Il existe sans doute d'autres démonstrations mais je ne les connais pas (et je n'ai aucune chance de les trouver si ce n'est pas analytique).

Comme on a eu droit à un joli dessin, prolongeons l'exercice, sans modifier la position des triangles, on effectue les 6 permutations de nom des sommets de A′B′C′. On obtient donc 6 configurations différentes et 6 points de concours.
Montrer que ces 6 points sont coconiques, si vous le voulez bien.

Dernière modification par Vassillia (26-10-2025 00:06:34)

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 351

Re : Les 2 triangles

Bonjour,

Il suffit de rajouter ceci à mon code:

f(p,q,r, u,v,w, x,y,z)=[(u*x+u*y+w*x)*(p+q+r), (q*x+q*y+r*y)*(u+v+w), (r*u+q*w+r*w)*(x+y+z)];

M1=f(p,q,r, u,v,w, x,y,z);
M2=f(p,q,r, x,y,z, u,v,w);
M3=f(u,v,w, x,y,z, p,q,r);
M4=f(u,v,w, p,q,r, x,y,z);
M5=f(x,y,z, u,v,w, p,q,r);
M6=f(x,y,z, p,q,r, u,v,w);

NulConic=CoconiquesBary(M1,M2,M3,M4,M5,M6) % NulConic=0 donc c'est gagné
 

La fonction CoconiquesBary utilisant le Véronèse:

function X = CoconiquesBary(M1,M2,M3,M4,M5,M6)

    function N = P(M)
         u=M(1); v=M(2); w=M(3);
         N=[u^2 v^2 w^2 u*v v*w w*u];
    end
       
         X=det([P(M1); P(M2); P(M3); P(M4); P(M5); P(M6)]);

end
 

Cordialement,
Rescassol