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Borassus

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Exercice de Première : colline éclairée par un phare

Bonjour à tous,

Un de mes élèves de Première a eu à son DST de fin septembre l'exercice suivant, donné en dernier et peu valorisé (donc normalement simple à résoudre) :

« Un phare de hauteur 20 m est situé à 700 m du pied d'une colline. La colline culmine à 500 m, sa base mesure 1000 m, et on suppose qu'elle a une forme parabolique.
Quelle est l'altitude du point de la colline le plus élevé que peut éclairer le phare ?
(On se placera dans un repère dont l'origine se situe au pied du phare.) »

J'avoue humblement patiner sur cet exo.

Sauf erreur grossière de ma part, l'équation de la colline est, en hectomètre, $y = -\dfrac 1 5 (x - 12)^2 + 5$, avec $7 \le x \le 17$.

La droite tangente à la colline et passant par le point $\left(0, \dfrac 1 5 \right)$, avec $x \ge 0$ a pour équation $y = mx + \dfrac 1 5$ (toujours en hectomètre).

Le point de tangence est donc défini par l'égalité $mx + \dfrac 1 5 = -\dfrac 1 5 (x - 12)^2 + 5$, qui aboutit à l'équation
$-x^2 + (24 - 5m)x - 120 = 0$.

Pour que la solution soit unique, il faut que le discriminant $(24 - 5m)^2 - 480$ du polynôme soit nul, ce qui aboutit à une expression baroque de $m$, égale à environ 0,42, ce que confirme la représentation dans GeoGebra. L'altitude demandée est alors environ 478 m.

Mais je n'arrive pas à trouver cette valeur algébriquement.

Merci pour vos indications salvatrices !

(PS : Je précise que l'élève n'a pas encore vu les notions de dérivée et d'équation de la tangente en un point.)

Dernière modification par Borassus (09-10-2025 20:16:05)

Borassus

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Re : Exercice de Première : colline éclairée par un phare

En écrivant que l'équation de la colline est $C(x) = -\dfrac 1 5(x - 12)^2 + 5$
$C'(x) = -\dfrac 2 5 (x - 12)$

L'équation de la tangente à une distance $d$ du phare est
$y = -\dfrac 2 5 (d - 12)(x - d) - \dfrac 1 5(d - 12)^2 + 5$

Pour $x = 0$, on doit avoir
$-\dfrac 2 5 (d - 12)(- d) - \dfrac 1 5(d - 12)^2 + 5 = \dfrac 1 5$

ce qui aboutit à $d^2 = 120 \approx 10.95$.

$C(d) = |\drac 1 5 (10.95 - 12)^2 + 5 = 4.78 hm = 478 m.

Bernard-maths

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Re : Exercice de Première : colline éclairée par un phare

Bonjour !

Peut être en cherchant le point éclairé par un pinceau lumineux y = 0.2 + mx ...

Ce pinceau "coupe" la parabole en 2 points max (un devant et un derrière !) donc -(x-12)²/5 +  = 0.2 + mx

et mieux, une solution double ... (pas fait les calculs)

Cela revient à la solution double, mais sans tangente ...

B-m

PS : on peut ajouter la question : à quelle hauteur doit pousser un arbre au sommet pour recevoir la lumière du phare !

Dernière modification par Bernard-maths (10-10-2025 08:47:37)

Roro

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Re : Exercice de Première : colline éclairée par un phare

Bonjour,

La proposition de Bernard me semble adaptée et pas trop compliqué :

Si la parabole a pour équation $y=ax²+bx+c$ (celle proposée par Borasus est correcte) alors on cherche la pente $p$ telle que l'équation
$$ax^2+bx+c = 0.2+px$$
admette une seule solution (et entre 7 et 17).
La question est donc de savoir pour quelle valeur de $p$ le discriminant $\Delta = (p-b)^2-4a(c-0.2)$ s'annule, ce qui doit être à la portée des étudiants concernés !

Roro.

Dernière modification par Roro (10-10-2025 09:23:52)

Borassus

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Re : Exercice de Première : colline éclairée par un phare

Bonjour Bernard, bonjour Roro, bonjour tout le monde,

C'est bien la démarche que j'avais commencée dans mon premier post.

Elle mène à l'équation (avec les distances exprimées en hm ; mon élève m'a envoyé un corrigé de prof écrit en m ; c'est beaucoup trop lourd !!)
$x^2 - (24 - 5m)x + 120 = 0$

Pour que cette équation ait une solution double, il faut que le discriminant du polynôme soit égal à 0.
Ce qui entraîne l'égalité $(24 - 5m)^2 = 480 = (4\sqrt{30})^2$
d'où
$m = \dfrac {24 - 4 \sqrt{30}}{5}$
(C'est cette expression que je qualifiais de baroque, et qui ne m'avait pas donné envie de continuer. J'aurais dû continuer.)

L'équation  s'écrit alors
$x^2 -4\sqrt{30}x + 120 = 0$
et la solution double est égale à $
\dfrac {4\sqrt{30}}{2} = 2\sqrt{30}$

Pour cette valeur, $mx + \dfrac 1 5 = \dfrac {24 - 4 \sqrt{30}}{5} \times 2\sqrt{30} + \dfrac 1 5 \approx 4.78$

L'altitude demandé est donc 478 m.

Dernière modification par Borassus (10-10-2025 13:12:35)

Bernard-maths

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Re : Exercice de Première : colline éclairée par un phare

Hello !

Que penses-tu de cet énoncé ?

https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 62#p117762

B-m

Borassus

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Re : Exercice de Première : colline éclairée par un phare

Excuse-moi, je ne l'ai découvert qu'hier soir.

Je viens de le relire et m'y plongerai dès que j'en aurai la disponibilité, probablement aujourd'hui en fin d'après-midi ou demain.

Bernard-maths

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Re : Exercice de Première : colline éclairée par un phare

Avec GeoGebra, c'est assez facile à voir

Dernière modification par Bernard-maths (10-10-2025 13:26:29)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice de Première : colline éclairée par un phare

Bonjour,

Je suis presque Hors-Sujet, mais je ne résiste pas  : mes souvenirs ont refait surface...
J'ai retrouvé un exercice de 3e, pêché dans un manuel, et donné en devoir maison

Le Phare
Le Phare

Le point B représente un phare, perché sur un promontoire 100 m au dessus du niveau de la mer. On se propose de calculer la portée du phare, c'est à dire la longueur de l'arc de cercle AT (la Terre est ronde !)
1. Sachant que le rayon terrestre mesure 6366 km, calculer OB (attention aux unités !), en déduire la valeur de l'angle $\widehat{BOT}$.
2. Calculer le périmètre de la Terre, en déduire la longueur de l'arc AT au cm près.
3. Calculer la distance, en ligne droite, éclairée depuis le phare, c'est à dire la longueur du côté [BT] et garder 5 chiffres après la virgule. 4. Y a-t-il une grosse erreur si, pour la portée, on utilise la longueur de [BT]  au lieu de celle de la longueur de l'arc AT ? Pourquoi ?

J'en ai d'autres...
Par exemple l'exercice autour de l'instrument de mesure inventé en 1232 par Fibonacci et qu'il avait baptisé (l'instrument) "Carré géométrique"...
Quelqu'un en veut ?

@+