Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Michel Coste

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Carré sur cercle

Bon dimanche,
Après le fil de discussion https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=18003, je propose à Bernard-maths de changer de point de vue :
Un carré de côté 1 roule sans glisser sur un cercle de circonférence 4 avec une vitesse de rotation constante $\omega$.
1) Dessiner la trajectoire du centre du carré
2) Dessiner la trajectoire d'un coin du carré
3) Étudier la vitesse du centre du carré
4) Étudier la vitesse d'un coin du carré.
Bonne cogitation !

bridgslam

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Re : Carré sur cercle

Bonjour,

Excellent!

Sans calcul déjà le carré fera deux tours sur lui-même après un tour de cercle :-).
En tous cas bonjour les suspensions du "chariot"!

Alain

Bernard-maths

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Re : Carré sur cercle

Salut les copains !

J'étais en week end funéraire ... je rentre chez nous.

Bonne idée de permuter cercle et carré :-)

Je vais y réfléchir, tou en reprenant l'autre fil de discussion.

B-m

bridgslam

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Re : Carré sur cercle

Bonjour,

Le carré tourne autour du cercle en sens trigo par exemple pour fixer les idées.
Au départ (t=0) par exemple le point de contact est au milieu d'un côté et sur l'axe des x du repère lié au cercle.
J'ai pris la vitesse de rotation $\omega$ à 1 rd/s  pour ne pas la trimbaler partout dans les formules.

Pendant une première phase ( le temps que le point de contact fasse un huitième de tour) , j'ai trouvé ceci comme trajectoire de I
dans le repère fixe centré au centre du cercle.
Le point de contact devient immobile un certain temps ensuit sur le cercle  (quand il est au coin du carré) , sinon, lui, en dehors de ces moments-là,  il tourne à vitesse angulaire moitié de la vitesse angulaire du carré, donc ici 0.5 rd/s avec mon choix.

https://zupimages.net/up/25/38/y4lx.png

On peut trouver la suite, pendant un temps $ \Delta t$ supplémentaire facile à estimer, ici  variant de 0 à  $\pi/2$ , ce coin est fixe, puis ça recommence...
Pendant ce phase d'immobilité du coin qui touche le cercle les coordonnées de I deviennent
$x = \sqrt 2/\pi + (\sqrt 2 /2) cos \Delta t  , y = \sqrt 2/\pi + (\sqrt 2 /2) sin \Delta t$

Pas le courage de tracer la suite un dimanche ...

Pour la vitesse on dérive le vecteur position $\vec{OI}$, puis on calcule son  module...

Michel Coste

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Re : Carré sur cercle

Je trouve plus commode de travailler avec l'affixe complexe, et aussi plus commode de commencer en fait par les coins du carré en s'aidant de la paramétrisation de la développante du cercle. Ton I est le centre du carré, je présume ?

Dernière modification par Michel Coste (21-09-2025 18:25:51)

bridgslam

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Re : Carré sur cercle

Bonsoir,

Oui I est le centre du carré, je me suis intéressé à son mouvement , ce qui donne par la suite tous les éléments cinématiques que l'on souhaite.

Je n'ai pas cherché non plus si dans  l'expression paramétrique pour cette phase du mouvement on pouvait "éliminer" t, bref du brut sans trop me prendre la tête.

Bonne soirée

Michel Coste

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Re : Carré sur cercle

Un petit dessin . J'ai changé d'échelle avec un carré de côté $\pi/2$ et un cercle de rayon 1.

bridgslam

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Re : Carré sur cercle

Bonjour

Oui j'y retrouve mon tronçon sur un huitième de tour de courbe bleue , mon calcul rapide devait tenir la route.
Jolie question. Merci.

Bernard-maths

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Re : Carré sur cercle

Bonjour ! Jolie "cardioïde"

La route est ouverte vers les hypo et épicycloïdes  "carrées" ...

https://mathcurve.com/courbes2d/hypocyc … loid.shtml
https://mathcurve.com/courbes2d/epicycl … loid.shtml

Encore 2 jours très agités ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (22-09-2025 12:01:48)

Bernard-maths

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Re : Carré sur cercle

Voilà des hypo-épicarréïdes ... ;-)

Michel Coste

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Re : Carré sur cercle

Bonjour Bernard,
Jolis dessins, malheureusement ils ne correspondent absolument pas au roulement sans glissement d'un petit carré sur un grand carré.  Voila des trajectoires dans ce cas

Michel Coste

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Re : Carré sur cercle

Bonjour,
Revenons sur le sujet du fil, explicité dans le premier message.
Tout le monde aura bien sûr reconnu, dans le premier tronçon de la trajectoire du coin rouge dans le message #7, un morceau de la développante du cercle de paramétrage $e^{it}(1-it)$, pour $0\leq t\leq \pi/2$. Pour le paramétrage du premier morceau de la trajectoire du coin opposé, il suffit d'ajouter $e^{it} \dfrac\pi2(1+i)$. De sorte que le premier morceau de la trajectoire du centre du carré est paramétré par $e^{it}\left(1+\dfrac\pi4(1+i)-it\right)$, pour $0\leq t\leq \pi/2$. Ces morceaux de courbe paramétrées, auxquels ont fait subir les transformations idoines et qu'on raccorde par des arcs de cercle, permettent de dessiner les trajectoires rouges et bleues.

(Un petit bout de la trajectoire rouge a disparu dans le chargement de l'image, tant pis.)

Michel Coste

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Re : Carré sur cercle

Reste à voir ce qui se passe pour les vitesses. Ce n'est pas compliqué avec les paramétrisations données ci-dessus.
Pour le coin du carré rouge : le module de la vitesse est $t$ pour $0\leq t\leq \pi/2$, $\pi/2$ pour $\pi/2\leq t\leq \pi$, $\sqrt{(t-\pi)^2+\pi^2/4}$ pour $\pi\leq t\leq 3\pi/2$, $\sqrt2\pi/2$ pour $3\pi/2\leq t\leq 2\pi$, $\sqrt{(5\pi/2-t)^2+\pi^2/4}$ pour $2\pi\leq t\leq 5\pi/2$, $\pi/2$ pour $5\pi/2\leq t\leq 3\pi$, $7\pi/2-t$ pour $3\pi\leq t\leq 7\pi/2$, $0$ pour $7\pi/2\leq t\leq 4\pi$.
Le module de la vitesse du centre du carré est périodique de période $\pi$ et vaut $\sqrt{(t-\pi/4)^2+\pi^2/16}$ pour $0\leq t\leq \pi/2$ et $\pi/(2\sqrt2)$ pour $\pi/2\leq t\leq \pi$.