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bridgslam

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bonjour,

Il faut donner le mouvement du cercle (géométrique, pas de masse, d'inertie ) dans un sujet à l'énoncé complet:

- il y a toujours contact avec le carré
- le centre I du cercle se meut à la vitesse algébrique curviligne  v constante dans un repère R fixé  au carré
- le point de contact E parcourt tous les côtés
- le point de contact du cercle a une vitesse nulle dans R ( roulement sans glissement sur les côtés)

L'ajout de la pseudo-inertie est alors inutile puisqu'on connait la trajectoire de I, y compris dans les coins.

Par-contre en l'état, le mouvement de tous les points du cercle ( sauf I) est inconnu au passage d'un coin, si rien n'est ajouté à l'annoncé:

- Que fait dans cette phase le point de contact fixé au  cercle  au coin? La circonférence du cercle ne peut pas se développer sur les côtés attenants en prolongement de la tangente au coin puisqu'il n'y en a pas, donc la notion de roulement sans glissement est inconsistante.
On sait juste qu'à l'arrivée au coin puis au départ cette vitesse est nulle, mais entre les deux?

- si ce point est supposé immobile dans R, pour que le mouvement du cercle soit décrit complètement, il faut dire par exemple comment pivote IF ( ou EI ) en fonction du temps ( vitesse angulaire à chaque instant uniforme ? mais ça peut être beaucoup de chose d'autre qui satisfassent juste les conditions de valeurs de vitesse de F ( ou de I ) au début et à la fin du coin (vitesses relatives à R), qui seules sont imposées à cause du roulement sans glissement rectiligne antérieur et  ultérieur.

J'espère avoir été plus clair.
Tu remarqueras que Michel a bien énoncé des conditions supplémentaires avant de décrire ce que fait le cercle, représentations graphiques à l'appui. Es-tu d'accord que ce serait incomplet sans autre précision?

Cordialement
Alain

Dernière modification par bridgslam (20-09-2025 08:45:27)

Michel Coste

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bonjour,

- si ce point est supposé immobile dans R, pour que le mouvement du cercle soit décrit complètement, il faut dire par exemple comment pivote IF ( ou EI ) en fonction du temps ( vitesse angulaire à chaque instant uniforme ? mais ça peut être beaucoup de chose d'autre qui satisfassent juste les conditions de valeurs de vitesse de F ( ou de I ) au début et à la fin du coin (vitesses relatives à R), qui seules sont imposées à cause du roulement sans glissement rectiligne antérieur et  ultérieur.

Pas très clair pour moi.
Je prétends que les conditions :
1) roulement sans glissement (= toujours en contact et vitesse instantanée du point de contact nulle)
2) vitesse de rotation du cercle constante
imposent le mouvement du cercle autour d'un coin. En effet la condition 1) impose qu'à chaque instant le centre instantané de rotation du cercle est le point de contact, et alors la condition 2) impose la vitesse du centre du cercle sur sa trajectoire (constante en module). Pas d'accord ?

bridgslam

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bonjour,

Cela revient  à 100% au même, dit différemment, et je voulais explicitement décrire les deux conditions (il n'y en a pas qu'une) .
On est d'accord que la cinématique d'un solide à un instant est définie par la position dans l'espace (ici le plan) de son centre instantané de rotation C, et son vecteur rotation instantané ( ici forcément normal au plan en 2D, donc juste la connaissance d'une vitesse angulaire autour de C suffit).
La vitesse de tous les points du solide est alors obtenue par simple produit vectoriel, tout ceci se simplifiant énormément ici (solide plat qui reste dans son plan de "platitude"). Je n'ai rien voulu dire d'autre.

A chacun son psychisme et je n'ai pas de talent littéraire particulier, désolé si je n'ai pas été clair pour toi.

Bonne journée

bridgslam

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

1) roulement sans glissement (= toujours en contact et vitesse instantanée du point de contact nulle)
[2)  ... ]

Pas clair non plus pour moi, je précise bien de mon côté " point de contact lié au cercle"  sinon on est sur une évidence ( point d'angle fixe par rapport au carré non?)
et je disais aussi que la circonférence ne pouvant épouser la tangente à un coin (et pour cause) afin de "rouler sans glisser" , on ne peut pas admette implicitement ce fait sauf information supplémentaire au niveau des angles.

bridgslam

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bonjour,

La question essentielle subsiste: Bernard es-tu d'accord que le sujet tel quel était incomplet sans ces deux points?

En tous cas merci Bernard, c'était intéressant  d'essayer de rouler sur des angles, pas forcément conseillé dans la vie courante pour des pneus si en plus ils sont pointus , voir la question similaire en roulant sur un losange, voir sur un segment.... :-).

De mon côté cela a été l'occasion de revoir de près la cinématique, où on peut vite s'emmêler les pinceaux ( pour cause d'imprécision, repères, points réels dont on parle etc, en général).
N'hésites pas si tu en a d'autres comme celui-ci: lever (ou tenter de...) des ambigüités potentielles peut être aussi un bon exercice (pour une épreuve non officielle en tous cas).

Bon a-m,

Alain

Michel Coste

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Pas clair non plus pour moi, je précise bien de mon côté " point de contact lié au cercle"  sinon on est sur une évidence ( point d'angle fixe par rapport au carré non?)

On ne s'intéresse aux vitesses instantanées que pour le solide en mouvement, n'est-ce pas ?

et je disais aussi que la circonférence ne pouvant épouser la tangente à un coin (et pour cause) afin de "rouler sans glisser" , on ne peut pas admette implicitement ce fait sauf information supplémentaire au niveau des angles.

Je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire exactement. Je répète une nouvelle fois l'énoncé formulé à ma sauce :
"Un disque de rayon 20cm roule sans glisser sur un carré avec une vitesse de rotation constante de 33tr/min. Quelle est la vitesse instantanée du centre du disque ? Du point de contact du disque et du carré ?  Du point diamétralement opposé au point de contact ?"
Es-tu oui ou non d'accord que cet énoncé spécifie entièrement le problème ?

Michel Coste

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Il faut donner le mouvement du cercle (géométrique, pas de masse, d'inertie ) dans un sujet à l'énoncé complet:
- il y a toujours contact avec le carré
- le centre I du cercle se meut à la vitesse algébrique curviligne  v constante dans un repère R fixé  au carré
- le point de contact E parcourt tous les côtés
- le point de contact du cercle a une vitesse nulle dans R ( roulement sans glissement sur les côtés)
L'ajout de la pseudo-inertie est alors inutile puisqu'on connait la trajectoire de I, y compris dans les coins.
Par-contre en l'état, le mouvement de tous les points du cercle ( sauf I) est inconnu au passage d'un coin, si rien n'est ajouté à l'annoncé:

Non, le mouvement au passage d'un coin est parfaitement connu avec ces hypothèses, qui reviennent à dire que le centre instantané de rotation du cercle est à chaque instant le point de contact avec le carré, et que la vitesse de rotation du cercle est constante.
@bridgslam, je n'arrive pas à comprendre si tu es finalement d'accord avec ce que je viens d'affirmer (et que j'ai démontré).

bridgslam

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bonjour,

"Si rien n'est ajouté" ... à l'énoncé de départ de Bernard, je ne mentionnais pas le tien,  qui en rajoute forcément, si on veut une solution unique en tout cas à partir d'un nouvel énoncé. La question posée est décrite par Bernard à l'origine du fil.
"Quelle est la vitesse du contact du disque et du carré ?" demandes-tu.
S'il s'agit du point lié au cercle dont tu parles sa vitesse est nulle, mais l'autre point libre avance comme I par exemple sur les côtés, mais il correspond à différents points liés au disque pendant le mouvement. Je ne sais pas exactement ce que tu veux dire non plus, désolé.

Michel Coste

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

J'ai déjà expliqué plusieurs fois que je parlais de la vitesse instantanée d'un point du solide en mouvement. Je le répète encore une fois. Et je répète encore une fois que le roulement sans glissement veut dire que cette vitesse instantanée au contact du cercle et du carré est nulle. Autrement dit, que le centre de rotation instantanée du cercle est toujours le point du cercle où il est en contact avec le carré. Ce point de contact varie bien sûr sur le cercle quand celui-ci se déplace sur un côté, mais c'est toujours le même point du cercle quand celui-ci négocie le virage autour d'un coin. C'est une conséquence du roulement sans glissement, et c'est indépendant de l'hypothèse que la vitesse de rotation du cercle est constante.

bridgslam

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

[...]  et c'est indépendant de l'hypothèse que la vitesse de rotation du cercle est constante.

Je n'ai jamais dit que ça en dépendait, ce sont deux choses indépendantes, et il y a donc bien deux hypothèses dans ton scénario de mouvement (le non glissement à plat et au coin + la vitesse angulaire qui reste aussi constante) .
En gros, en assimilant le cercle à un pneu, il ne ripe jamais.
Mais on est d'accord pour dire aussi que le non glissement au coin pendant toute cette phase, est équivalent à dire  que la vitesse angulaire de F autour de I est égale à celle de I autour de E, ou alors je ne comprends plus rien ?

Michel Coste

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Pourquoi distinguer non-glissement à plat et non-glissement au coin ? C'est, dans les deux cas, le non-glissement tout court  = vitesse instantanée nulle au point de contact = centre de rotation instantanée au point de contact.

Mais on est d'accord pour dire aussi que le non glissement au coin pendant toute cette phase, est équivalent à dire  que la vitesse angulaire de F autour de I est égale à celle de I autour de E, ou alors je ne comprends plus rien ?

Non, je ne suis pas d'accord*. Mais peut-être je ne comprends pas ce que tu appelles "vitesse angulaire de F autour de I".  Peux-tu préciser ?
*Pour préciser : vu que E et F sont diamétralement opposés sur le cercle de centre I, quoiqu'il arrive, qu'il y ait glissement ou pas, la "vitesse angulaire de F autour de I " est égale à la "vitesse angulaire de E autour de I", et donc à "la vitesse angulaire de I autour de E"

Dernière modification par Michel Coste (20-09-2025 15:25:29)

bridgslam

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bonjour,

Je suis d'accord pour le point de contact = non glissement de ce point signifie vitesse nulle.
Je faisais le distingo car à plat c'est imposé par le déroulé de la circonférence sur le côté droit (même longueur en rond et en rectiligne).
Impossible de faire pareil en terme de longueur (à mon sens ) si le point de contact est le coin.

Je suis d'accord que tous les points tournent à la même vitesse angulaire dans le  mouvement du cercle, vu qu'il ne se déforme pas, qu'il s'agisse de I, d'un point du rayon, du bord etc. De plus sa valeur impose la vitesse de I (situé à distance R du contact).
Le cercle est vu comme un solide de centre instantané de rotation situé à l'angle (non glissement) , de toute façon situé toujours  au point de contact pendant tout le circuit , et sa vitesse angulaire est supposée ne pas varier.

Conclusion: tu as raison sur toute la ligne et j'ai dit une grosse bêtise.

Merci pour la patience... et pour le temps gaspillé j'imagine.

Michel Coste

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

J'ai pas mal travaillé les dernières années sur la cinématique des robots ... ça permet de garder quelques réflexes ;)

Dernière modification par Michel Coste (20-09-2025 20:06:19)

Bernard-maths

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bonjour à tous !

La suite du post 37, https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 92#p117492

Si il est facile de déterminer les tracés des trajectoires de I et F, en faisant rouler le cercle sur le carré ABCD, la donnée de la vitesse v pour I permet de tracer le diagramme des vitesses.

Passons aux équations :

L'équation basique est eq1 en rouge, droite "bi-pliée" autour de O aux 2 points (0,a/2) et (a/2,0).
On peut changer le centre de "rotation" en I(b,c), eq2. Enfin on peut faire des arrondis circulaires en élevant les termes en x et en y au carré, eq3 et eq4.

Enfin en symétrisant en et en y, par remplacement de x par |x| et y par |y| ! D'où les équations encadrées ...

(abs(abs(x) - a) + abs(x) - a)² + (abs(abs(y) - a) + abs(y) - a)² = 4rI², avec rI = 1,
(abs(abs(x) - a) + abs(x) - a)² + (abs(abs(y) - a) + abs(y) - a)² = 4rF², avec rF = 2.

Il est à noter que si rI = o (par exemple), l'équation donnerait le carré ABCD plein !!!

Pour éviter cela j'ai pris une équation de carré : abs(x + y) + abs(x - y) = 2a.

Quant aux trajectoires intérieures au carré, je trouve :

Un carré rouge pour I, 4 segments bleus sur les côtés de ABCD poue E, et 4 segments croisés verts pour F ...

Bernard-maths

PS : équations au #65 !

Dernière modification par Bernard-maths (24-09-2025 10:34:58)

Bernard-maths

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Re : Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bonjour à tous !

Très secoué ces temps ci, et je vais être "absent" jusqu'à mi octobre !

Donc la suite pour plus tard ... (:-)

B-m

PS : je suis sur le point de mettre au point (bis repetita ?) une équation cartésienne pour les polygones réguliers, et peut-être quelconques.
Si vous connaissez déjà quelque chose sur ces équations, merci de me le dire (:-)

J'ai trouvé ça, mais n'ai pas bien compris, ni essayé !

https://les-mathematiques.net/vanilla/d … ent_201597

Dernière modification par Bernard-maths (26-09-2025 18:20:11)