Entre le carré et le cercle, quelques activités ...

Bernard-maths · 16-09-2025 07:55:48

Bonjour à tous !

Pour commencer je vous propose un carré ABCD de côté 2a = 6, autour duquel on fait rouler un cercle de rayon r = 1.
On s'intéresse aux 3 points suivants : le point E de contact avec le carré, le centre I du cercle et le point F diamétralement opposé au point de contact.
Faire une figure et tracer les trajectoires des points I et F.

Petite question, que j'avais proposée il y a 53 ans, pour ma 1ère proposition de sujet de bac ... non retenue !
Si le point de contact E se déplace à la vitesse v sur le carré, quelles sont les vitesses des points I et F ???

Voilà, la suite selon vos réponses !

Bernard-maths

Michel Coste · 16-09-2025 09:24:19

Bonjour Bernard,
Je ne vais pas être très gentil.
Le problème de la vitesse de $I$ et $F$ quand $E$ est à un coin du carré ne me semble pas bien posé. En fait, toute la question ne me semble pas bien posée. La vitesse instantanée du point de contact entre le cercle et le carré est nulle. Ce qui ferait sens, c'est de se poser la question quand la vitesse de rotation du cercle autour de son centre est constante.
Bref, sauf plus ample information, le rejet de cette proposition de sujet de bac me semble tout à fait justifié.

Bernard-maths · 16-09-2025 11:10:56

@Michel !

C'est fait exprès ! La question est bien posée, à cause de son ambiguïté ...

Il y a encore à dire ! Sur les vitesses de I et F ...

B-m

Michel Coste · 16-09-2025 13:06:05

Je ne dirais pas ambiguïté, je dirais plutôt non-sens.

Bernard-maths · 16-09-2025 13:18:01

Commence par tracer ce que tu peux des trajectoires ... ensuite quelles questions se poser aux angles ???

Michel Coste · 16-09-2025 13:29:55

Le tracé ne pose aucune difficulté. Ce n'est pas là qu'est le problème.

Bernard-maths · 16-09-2025 16:00:11

Oui mais qu'est ce que tu as tracé ?

Il n'y a pas de problème mathématique, le problème est cinématique ...?

Dernière modification par Bernard-maths (16-09-2025 16:00:40)

Roro · 16-09-2025 16:05:27

Bonjour,

Un peu cocasse comme discussion !
Je pose une question un peu bête à Bernard qui lui permettra peut être de comprendre les remarques de Michel :

Le point de contact appartient-il au cercle ou au carré ?

Roro.

Bernard-maths · 16-09-2025 16:26:53

Hum ... Mais Ok.

Pour moi le point de contact du cercle avec le carré reste commun aux deux, non ?

Roro · 16-09-2025 18:25:51

Ainsi, ce point de contact est commun au carré et au cercle mais il bouge uniquement sur le carré ? Il reste fixe sur le cercle ? C'est une interprétation que je fais car dans ce que tu énonces, ça ne me semble pas clair.

En fait au début je pensais que tu t'intéressais au problème suivant :

"On cherche la trajectoire d'un point fixe sur un cercle qui roule sans glisser sur un carré..."

mais en fait je suis perdu : car le point F à l'opposé du point de contact n'a rien à voir avec cette histoire...

Si tu remplaces le carré par une droite, tu obtiens quoi ? La cycloïde ou une droite ?

Roro.

Bernard-maths · 16-09-2025 19:01:55

J'ai dit "on fait rouler un cercle", donc le cercle tourne en se déplaçant !E fait le tour du carré, I et F "évoluent", sur quelles trajectoires ?

La vitesse intervient plus tard, à interpréter ... cinématiquement ? il faut bien réfléchir qui a la vitesse v pour poursuivre ...!!!

Roro · 16-09-2025 19:20:15

OK. Donc puisque F est le point diamétralement opposé au point de contact, lorsque le cercle "roule" sur un coté du carré (je ne parle pas des coins...), I et F parcourent un segment parallèle à ce coté... à la même vitesse que E !

Roro.

Dernière modification par Roro (16-09-2025 19:20:51)

Bernard-maths · 16-09-2025 20:19:47

Ah ah ! Tu avances ... (;-)

Roro · 16-09-2025 20:44:37

Bonsoir,

Si je continue avec cette "logique", la trajectoire de F que tu veux nous faire trouver est probablement l'ensemble des points qui sont à distance 2 du carré (de coté 6), et à l'extérieur du carré : composée de 4 segments à l'extérieur du carré, et de 4 quarts de cercle.

Pour les passages des coins, c'est pas très mathématiques car j'ai l'impression que ce passage n'est pas très "continu".

Roro.

bridgslam · 16-09-2025 21:11:23

Bonsoir,

▼mon approche, si j'ai bien compris

Bonne nuit géométrique

Dernière modification par bridgslam (16-09-2025 21:34:52)

jelobreuil · 16-09-2025 21:37:17

Bonsoir à tous,
Je ne puis m'empêcher de remarquer combien ce problème de coin est justement à sa place ici...
JLB

Roro · 16-09-2025 21:39:40

Bonsoir,

Je suis (presque) d'accord avec bridgslam à ceci près que le passage des coins n'est vraiment pas clair.

Parlons d'un point de vue "pratique" : en fait, le point E doit s'arrêter pour que le cercle prenne le virage, c'est pourquoi on ne peut pas imaginer que sa vitesse soit constante. Mais une fois E arrêté sur un coin, comment décider de la vitesse du reste du cercle autour de ce point ?

A mon avis, on peut très bien décidé que c'est le centre du cercle qui avance à vitesse (en norme) constante, ou bien que c'est le point F... Ça ne change rien à la trajectoire géométrique obtenue...

L'idée de voir le problème du carré comme limite d'un carré avec les bords arrondis (de rayon $\varepsilon$) ne change pas le problème : si c'est le point E qui a un vitesse v constante alors le point F avancera avec une vitesse de $2v/\varepsilon$...

J'ai quand même du mal à formuler correctement l'énoncé.

Roro.

bridgslam · 16-09-2025 21:42:40

....

Même c'est coincoin si la partie carrée est aquatique ( robot tondeuse autour qui tournerait sur lui-même en coupant le gazon, bizarre mais pas impossible non plus, pour amuser les volatiles ?)

bridgslam · 16-09-2025 21:54:59

Bonsoir

@Roro: la notion même de point E s'évanouit en arrivant à un coin. En ce sens le parallèle avec des arrondis réels très faibles aux coins doit t'éclairer. Cela rapproche d'une vraie cinématique.
Ce que j'ai proposé est la seule possibilité (selon moi ) , pour coller à l'énoncé de Bernard.
En situation matérielle, un cerceau avec de la masse, donc de l'inertie etc, le cerceau continuera sur sa lancée en quitttant le bord du carré.
Si le cerceau est pris dans un tunnel ( ou un rail ) de contrainte par-dessus qui suit la forme de la trajectoire que j'ai décrite, cela contraindra le cercle à ce que propose Bernard , sauf erreur.

En résumé: la vitesse du point lié au cercle (sans glissement) est toujours nulle, coin ou pas ( sauf action extérieure au pb).
Au coin, seul ce point lié est pertinent, l'autre (E) n'a plus de support, plus de raison d'être.
Au coin, le cercle (rigide) se comporte par continuité des vitesses comme une toupie autour du point angulaire.

Je pense que c'est la situation qui colle (géométriquement, pas de masse, moment d'inertie) à celle décrite par Bernard.
En situation réelle il faut ajouter une contrainte de guidage au-dessus afin que le cerceau (matériel) ne quitte pas le carré par simple inertie.

Dernière modification par bridgslam (16-09-2025 22:15:44)

Michel Coste · 16-09-2025 22:11:07

Comme je l'ai déjà écrit, ce qui ferait sens est de considérer que la vitesse de rotation autour de son centre du cercle qui roule sur le bord du carré est constante. L'arrondi très petit au coins du carré ne règle rien, il aboutit à la limite à une discontinuité du mouvement du cercle.

bridgslam · 16-09-2025 22:56:04

Bonsoir,

Pour moi ça ne fait pas plus sens d'être à rotation constante que de considérer que tel ou tel point qui a la vitesse v avant le virage la conserve au cours du virage.
Et Bernard n'a pas dit dans son énoncé que la vitesse de rotation autour de I était constante, justement, pendant tout le mouvement.
Par ailleurs je pense qu'il se place exclusivement dans un cadre géométrique et il impose implicitement le trajet ( le cercle ne quitte pas le carré etc). Simplement il ne spécifie pas le système de guidage, voilà tout!
Je suppose donc que le cercle ne quitte pas le carré, que pendant le passage des coins, la vitesse numérique des points ne subit pas de variation par rapport à leur valeur avant le virage. Pourquoi pas?
Comme personne n'a jamais vu de corps changer instantanément de direction, l'idée des arrondis évite cette discontinuité de direction (*) ,
et la vitesse du cerceau est alors ce qu'elle est: je ne vois pas d'hypothèse là-dessus dans son énoncé non plus.
On perturbe par rapport à quoi? Il n'a aucun cahier des charges sur les vitesses ! On a le droit d'imaginer le mouvement le plus simple possible, par ailleurs. D'autres sont possibles, mais ce n'est pas imposé.

(*) comme le cerceau roule sans glisser sur le coin, je t'accorde que cette discontinuité est fictive. Elle serait bloquante par-contre si le pivotement était impossible ( orientation fixe d'un objet qui doit suivre un parcours en points anguleux, sans s'arrêter, bonjour! la seule possibilité étant d'avoir le temps de pivoter sur les pointes )

bridgslam · 16-09-2025 23:30:45

En plus le mouvement à vitesse angulaire constante par rapport au centre I ne peut être validé.
Pourquoi?
La vitesse du point du cercle en contact avec le support carré rectiligne est toujours nulle.
Et tout à coup, instantanément, le cercle continuant à tourner autour de I à cette même vitesse angulaire au passage d'un coin elle aurait une vitesse non nulle au point de contact! Patinage sur un coin, avec accélération instantanée de surcroît, pas bon pour les pneus!
Comme discontinuité, on y est en plein!

Bernard sera gré de me dire si je suis loin du compte, ou si j'aurais eu mon bac :-).

Sinon, un schéma avec le système de gouttière ou de rail ( comme pour les roulements à bille ) explicite graphiquement aurait peut-être permis d'éviter de trop se perdre dans des tergiversations mécaniques douteuses.
Pour le bon sens, un cerceau (matériel) qui roule sur une table quittera la table arrivé au bord, non?

Bernard-maths · 17-09-2025 06:49:46

FORMIDABLE !!! Vos neurones se sont bien agités, et Alain a bien cerné le problème ...

L'énoncé avec le cercle permet de brouiller un peu les pistes, mais laisse la cinématique entrer en jeu.

Géométriquement, on cherche les points extérieurs au carré, qui en sont à une distance de 1, ou de 2 ...

AVANT d'aborder le s problème s de vitesse, je vous demande de déterminer les lieux des ponts I et F si le cercle tourne sur le carré MAIS à l'intérieur !

A bientôt, Bernard-maths

PS : après je vous parlerai un peu d'équations

Dernière modification par Bernard-maths (17-09-2025 06:57:22)

Michel Coste · 17-09-2025 08:51:53

bridgslam a écrit :

En plus le mouvement à vitesse angulaire constante par rapport au centre I ne peut être validé.
Pourquoi?
La vitesse du point du cercle en contact avec le support carré rectiligne est toujours nulle.
Et tout à coup, instantanément, le cercle continuant à tourner autour de I à cette même vitesse angulaire au passage d'un coin elle aurait une vitesse non nulle au point de contact!

Raisonnement complètement faux. Le centre de rotation instantanée du cercle est toujours le point de contact, y compris quand le contact est à un coin du carré. Ce point de contact a une vitesse instantanée nulle.
Je ferai un dessin plus tard.

bridgslam · 17-09-2025 09:01:10

Bonjour,

C'est exactement ce que je dit, au point de contact à l'angle, le cercle ne peut pas à la fois tourner autour de ce point (immobile si tu relis bien ce que j'ai écris ) et pivoter sur lui-même autour de I à la vitesse de rotation angulaire constante que tu souhaites depuis le départ ( et non dans l'énoncé de Bernard).
Ce point de contact est bien lié au cercle, et je ne vois pas comment une figure rigide (du plan ) peut tourner à la fois autour de deux points distincts (I et le coin) , sauf si c'était dans l'espace autour d'un axe ( deux points sur l'axe), mais ce serait en plus une rotation axiale.

En résumé, au coin, il y a incompatibilité entre le fait de continuer à tourner autour de I , sans rien changer donc à ce qui se passait à plat( ce que tu demandes si j'ai bien compris ) , et tourner fixement (sans glissement donc) autour du coin confondu à ce moment-là avec un point immobile du cercle.
Si une figure à symétrie circulaire tourne autour de son centre, on est d'accord que la vitesse des points sur toute sa périphérie est non nulle ?
Comment alors un de ces points particuliers (ici le contact) serait aussi immobile ? Quelque chose m'échappe.

Désolé Michel je dois être bouché sans doute, mais je pense comprendre qu'il s'agit d'une question de mouvement relatif, I n'est pas fixe non plus, tandis que le point du cercle au contact est figé ( en considérant pour ces deux points le même référentiel, par exemple vissé au carré).
C'est plus clair: le mouvement du référentiel relatif centré en I par rapport à celui fixé au carré ( référentiel absolu ) doit compenser la vitesse relative du point de contact du cercle, pour l'annuler pour sa vitesse absolue par rapport au carré.
Tu as donc raison et je dis bravo! Subtil tout de même.
On a donc besoin d'une info supplémentaire pour décider du mouvement à choisir aux angles. Bien joué Michel !
A+

Dernière modification par bridgslam (17-09-2025 09:36:42)

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