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madilis

Invité

pb de continuité

Bonjour,
j'ai un problème de continuité voici la fonction
f(x,y)=(x^4+y^2)/(x^2+y^2) si (x,y) différent de (0,0)
1 si (x,y)=(0,0)

la question est: étudier la continuité de la fonction et celle de ses dérivées partielles

pour la continuité de la fonction j'ai remplacé x=rcos(t) et y=rsin(t) et je fais la limite quand r tend vers 0 sa tend vers (sin(t))^2 donc pas continue et je trouve étrange qu'il nous demande celle des dérivées partielles puisque a priori elle n'est pas dérivable 
Merci de m'aider

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : pb de continuité

Bonjour,

  Tu as parfaitement raison pour la continuité.
On aurait aussi pu remarquer que f(x,0)=x^2 et f(0,y)=1, et remarquer que les limites sont différentes quand x et y tendent vers 0.

  Pour les dérivées partielles, il y a plusieurs façons d'aborder le sujet :
* existence de dérivées partielles en (0,0) et continuité de f en (0,0) n'ont aucun rapport. Autrement dit,
même si f n'est pas continue en (0,0), elle peut admettre des dérivées partielles en ce point. Pour le savoir, il faut revenir à la définition, c'est à dire au taux d'accroissement.
Ainsi, on a
[tex]\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\frac{x^2-1}{x}\to +\infty[/tex],
et donc f n'admet pas de dérivées partielles par rapport à x en (0,0).
En revanche,
[tex]\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0\to 0[/tex]
et donc f admet une dérivée partielle par rapport à y en (0,0) qui vaut [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0[/tex]

*Une fois l'existence des dérivées partielles validée (ou invalidée), on peut vraiment s'attaquer à la deuxième partie de la question. Ainsi, ne se pose que le problème de la dérivée partielle par rapport à y. Tu dois la calculer ailleurs qu'en (0,0), et tu raisonnes comme tu as fait ci-dessus.

*Enfin, si tu sais que f admet des dérivées partielles au voisinage de (0,0) qui sont continues dans ce voisinage, alors f est continue et même mieux, elle est différentiable (tu ne sais peut-être pas encore ce que cela signifie, mais ca viendra bientôt). Ici, a priori, on sait que si les deux dérivées partielles existent en (0,0), elles ne peuvent pas être toutes les deux continues. Rien n'empêche que l'une ne le soit.

Voila, j'espère que c'est plus clair.
Tu trouveras dans les  exercices du site
plusieurs exemples de ce que je viens de te dire.

A+
Fred.

madilis

Invité

Re : pb de continuité

Merci beaucoup la réponse est très clair je doutais de ma réponse du fait de la suite du problème mais maintenant je comprend mieux ce qu'il se passe. j'ai en effet vu la différentiabilité je réfléchirais à ce propos
encore merci

madilis

Invité

Re : pb de continuité

Bonjour,
je suis bloquée pour étudier la continuité de df/dy je trouve
df/dy=2yx^2(1-x^2)/(x^2+y^2)^2 j'ai remplacé x par rcos0 et y par rsin0 mais je n'arrive pas à aboutir...

merci de m'aider

Barbichu

Membre actif

Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : pb de continuité

Hello, étudie le cas x=y.

madilis

Invité

Re : pb de continuité

ha oui merci en fait elle n'est pas continue puisque la limite tend vers +infini merci