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bridgslam

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Perette et le pot au lait ( version moderne)

Bonjour,

Pierre de Fermette, juriste à Toulouse, vit un jour deux transformations dans sa vie:
- il changea de profession, devenant laitier, et même plus précisément laitière car...
- il devenant  elle se fit appeler alors Perette de Ferme...
( Perette pour les intimes).
Faisant régulièrement des tournées de livraison ou d'approvisionnement du précieux breuvage, mais n'ayant jamais totalement abandonné sa passion de l'arithmétique, elle se posa un jour, les yeux rêveurs posés sur son pot au lait (forcément), la question suivante:
Si je devais faire un périple en boucle à pied de 100 km avec mon vieux pot au lait (*) pourrais-je réussir sous les contraintes suivantes:
- ma vitesse de marche et la vétusté de mon pot fait que je perds un litre de lait au km.
(*)le fond est percé...
- mon pot est vide mais de contenance 100 L.
- des vaches normandes (à taches?) sont disposées de temps en temps sur le circuit, bonne laitières, au total leur volume de lait est de 100 L. Quand j'en croise une, je trais tout le lait dont elle dispose.
- en mouvement (donc hors traite) mon pot ne doit jamais être tari ( la fuite en avant mousaillons!).
Puis-je choisir mon point de départ afin de remplir ces conditions?

Après tout, si c'est faisable, je peux faire mon circuit dans des sens opposés,
Dans quels cas spécifiques le ou les lieux de départ adéquats seront indépendants du sens du trajet?
Pouvez-vous donner des exemples avec 2,3,4,... vaches?

Remarque: toute ressemblance avec une autre énigme ou des personnages connus n'est pas si fortuit que cela, ni indépendant de ma volonté...
Bonne nouvelle , elle n'a rien cassé à l'arrivée, donc doublement adieu Veaux, vaches, cochons...

bridgslam

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Re : Perette et le pot au lait ( version moderne)

Bonjour,

▼indices, exemple numérique amusant

Les lecteurs auront bien-sûr reconnu un problème équivalent à celui du camionneur avec les bidons de carburant.

Pour l'autre question on pourra penser à la silhouette d'un sapin de Noël parfait, à une ou deux variantes près.
Pourquoi?

▼le sapin en fête

Euh... En fait juste après les fêtes, on le couche avant sa mise au rebut, en principe.

▼explications par l'exemple avec 5 vaches

Les vaches du circuit, x10 L:

A: 2, B:1, C:2, D:1,E:4
Volume total de lait: 100 L.

Les intervalles de distances, x10 km:

AB=3, BC=1, CD=3, DE=2, EA=1.
Longueur totale 100km.
En adoptant la démarche efficace  proposée dans le fil précédent, les courbes représentant les niveaux de lait en fonction des distances en abcisses , les volumes en ordonnées,
on obtient deux fonctions symétriques ( on peut négliger pour l'une l'apport de la première vache, une translation en y, ce qui ne change rien aux questions d'extremums en x), obtenant donc un superbe sapin symétrique, couché sur l'axe des abcisses.

On doit ensuite faire la remarque suivante:
les max des  max des sauts verticaux d'un trajet dans un sens, sont les min des min des sauts verticaux pour le trajet en sens opposé.
Vice versa en échangeant les deux fonction.
Il s'agit dans notre exemple de {E,C} dans la première rubrique vis à vis de ABCDEA (pour ses max), pour l'autre AEDCBA, c'est {E}.
Le point E qui est leur intersection fait donc l'affaire.
On peut bien-sûr formaliser tout ceci dans le cas général: cela correspond à la recherche de points de semi-discontinuité  à la fois à valeur minimum pour la valeur basse du saut et à valeur maximum pour la valeur haute du saut en ces points.
On est sûr que ces points (et seulement ceux-là) seront des points de départ adéquats pour les deux sens du circuit.

La vue graphique avec notre exemple à 5 points:

https://www.geogebra.org/classic/utrcawjp.
En noir le sens AE... , en rouge le sens AB... à +2 près, sans aucune importance pour la variation globale.
A' et A sont le même point ( il faut deux étiquettes pour GeoGebra).

Joli le sapin non?
Ce sera bien-sûr moins esthétique si les deux courbes se croisent!
Par exemple avec 4 vaches, et pas de point de départ partagé: https://www.geogebra.org/classic/scf9fqcu

On peut s'amuser à inventer des situations, à nombre variable de vaches éventuellement, où il y a 0 point de départ commun, exactement 1 (comme ici ), plusieurs...

Eh on a même au final un aperçu ( glissant! ) de la Voie Lactée.
Que demander de plus?

Résumé commun à cette énigme et à la précédente ( puisqu'elle l'englobe, avec une question annexe):
L'utilisation d'une fonction f de niveau périodique montre qu'une solution de point de départ est un point de minimum absolu de cette fonction, qui existe toujours si la fonction est considérée continue à gauche des points de discontinuité (on ne se complique pas la vie).
Un tel point est aussi valable pour le trajet opposé ssi la fonction de niveau f ' ( égale partout à f sauf aux discontinuités où elle est continue à droite, nuance anecdotique de détail ) est aussi maximum absolu en ce point, vue la symétrie de la fonction associée au trajet opposé
(encore une fois, aux continuités gauche ou droite près, sans importance).
La considération seule de la fonction de niveau associée à un parcours permet donc de répondre conjointement aux trois questions:

- un point de départ au moins existe-t-il toujours, pour un sens arbitraire donné?

- comment le(s) déterminer

- lesquels feront aussi l'affaire si on choisit de tourner en sens inverse.

Je pense qu'on a fait définitivement le tour du sujet.

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (03-09-2025 10:22:47)