Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lbasha

Membre

Inscription : 21-07-2025

Messages : 2

Un nombre qui n'est pas un carré parfait

Bonjour à tous,
J'ai cette question :
Comment peut-on montrer que le nombre, écrit dans le système décimal, $\underbrace{88\ldots8}_{n \text{ fois}}9$ n'est pas un carré parfait ?
J'ai essayé de faire le calcul modulo certains nombres comme 3,4,8,16,.. mais sans obtenir de résultat utile.
J'ai essayé de faire une démonstration par l'absurde mais je n'ai pas pu terminer la solution.

Je recherche des indications qui pourraient m'aider à trouver la solution.
Merci d'avance pour vos réponses.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Un nombre qui n'est pas un carré parfait

Bonjour,

Je ne demanderais pas mieux que de réfléchir à ton souci, mais j'ai besoin de comprendre ce qu'il est exactement :
* les points de suspension signifient-ils qu'entre 88 et 89, il y a un nombre  indéterminé (au moins 1 ?) de chiffres (et peu importe lesquels)  ?
* le n fois signifie-t-il bien que le nombre final obtenu commencera toujours par 88 et et se terminera toujours par 89 ?

Si oui, alors je dirais déjà que le nombre final obtenu étant un nombre impair, il était inutile de chercher à le diviser par 4,8,16...
Mais ça ne te fait pas beaucoup avancer, je sais...

@+

Glozi

Invité

Re : Un nombre qui n'est pas un carré parfait

Bonjour,
J'interprète la question comme suit : soit $n\geq 0$, on pose $N$ le nombre qui en base $10$ s'écrit avec $n+1$ chiffres, les $n$ premiers étant $8$ et le dernier étant $9$. Par exemple pour $n=1$ alors $N=89$, pour $n=2$ alors $N=889$.

Déjà pour $n=0$, alors $N=9$ est un carré parfait. Hormis ce cas trivial on peut effectivement montrer que si $n\geq 1$ alors $N$ n'est pas un carré parfait. Je n'ai pas vu de méthode "simple" pour résoudre le problème, j'ai donc en tête une solution qui passe peut-être à coté d'une jolie astuce.

▼indication 1

On peut écrire $N=888\cdots 88888+1$ et $888\cdots 88888$ comme la somme des termes d'une suite géométrique.

▼indication 2

Avec l'indication 1, on peut écrire $N=\frac{M+1}{9}$ où $M=80000\cdots000=8\times 10^{n+1}$ (par exemple pour $n=2$ alors $889=\frac{8000+1}{9}$).
Faire intervenir une identité remarquable.

▼indication 3

Avec l'indication 2, on sait que si $N=a^2$ alors $M+1=(3a)^2=b^2$ donc $M=b^2-1=(b-1)(b+1)$
On doit donc écrire $M$ comme produit de deux nombres qui diffèrent de 2. Mais à quoi ressemblent les diviseurs de $M$ ?

▼indication 4

On a vu que $M=8\times 10^{n+1}=2^{n+4}\times 5^{n+1}$. Tout diviseur de $M$ s'écrit donc $d=2^p5^q$ où $p\geq 0$ et $q\geq 0$. D'après l'indication 3, si $M$ est un carré parfait on peut écrire $M=d_1d_2$ avec $|d_2-d_1|=2$ ($d_1$ et $d_2$ jouent le rôle de $b-1$ et $b+1$). Supposons par l'absurde l'existence d'une telle écriture.
On écrit alors $d_1 = 2^{p_1}5^{q_1}$ et $d_2= 2^{p_2}5^{q_2}$.
Puisque $d_1$ et $d_2$ diffèrent de $2$ alors ils sont de même parité. Comme $M$ est pair, alors $d_1$ et $d_2$ sont pairs donc $p_1\geq 1$ et $p_2\geq 1$.
Il est impossible d'avoir $q_1\geq 1$ et $q_2\geq 1$ En effet, dans un tel cas alors $d_1$ et $d_2$ sont tous deux divisibles par $10$ et ne peuvent différer de $2$.
Il est impossible d'avoir $p_1\geq 2$ et $p_2\geq 2$ En effet, dans un tel cas alors $d_1$ et $d_2$ sont tous deux divisibles par $4$ et ne peuvent différer de $2$.

À quoi ressemblent donc $d_1$ et $d_2$ ? Peut-on avoir $|d_1-d_2|=2$ ?

▼indication 5

Avec l'indication 4, on trouve $d_1=2\times 5^{n+1}$ et $d_2=2^{n+3}$ (ou l'inverse). On a donc $d_1-d_2$ qui tend vers l'infini lorsque $n$ grandit. Ainsi pour $n$ assez grand (et on peut quantifier ce $n$) $d_1$ et $d_2$ diffèrent de strictement plus de $2$. Il suffit alors de tester les petites valeurs de $n$ pour conclure (typiquement pour $n=0$ on trouve $d_1=10$ et $d_2=8$ ce qui dit correspond au fait que $N=9$ est un carré parfait).

Bonne journée

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Un nombre qui n'est pas un carré parfait

Bonjour à tous !

Je vois l'énoncé comme Glozi ...

Sans chercher, si u_n = n 8 suivis par 9, alors u_n+1 = 10 * u_n - 1

Et pour compléter Yoshi, si un nombre N est un carré de n, si N est terminé par 9, alors n est terminé par 3 ou par 7 ...

Voilà mes cogitations nocturnes ! Seront - elles utiles ?

Bernard-maths

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Un nombre qui n'est pas un carré parfait

Bonjour,

Si on regarde du côté des répunits (en base 10), cela revient à voir que ( à part le répunit 1 car 2x1 = 1x(1+1)) leurs doubles ne sont pas produit de deux entiers consécutifs.
Sauf erreur...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Un nombre qui n'est pas un carré parfait

Bonjour à tous,

Glozi et B_m m'ont donné à pense : aurais-je mal interprété sa formule ?
Diable...
Alors à y regarder de plus près, il semble bien que ce fameux nombre soit composé de $n$ fois le chiffre 8 et terminé par 9 et non comme je l'avais lu au premier abord de 88 suivi de $n$ chiffres quelconques et terminé par 89...

Dans ce cas, la question semble plus "abordable"...

Cela dit, miss Lbasha n'a - apparemment -  pas semblé autrement préoccupée par le fait d'avoir une réponse ou pas... ce qui pose la question pour nous la question de savoir si mes deux acolytes ont bien interprété la formule.

Je reprends la suggestion d'utilisation d'une suite : celle de B_m est formulée assez simplement pour mon cerveau surchauffé.
Je propose (sans vraiment savoir où ça pourrait mener) le plan suivant :
1. Former une suite auxiliaire $V_n$
2. Exprimer $V_n$ comme une suite géométrique
3. L'exprimer en fonction de n
4. Voir si $V_n$ est un carré parfait
5. En déduire alors que $U_n$ ne peut "donc" pas en être un...

Voilà, "pour faire avancer le Schmilblick !", un plan : à prendre avec les pincettes d'usage...

Maintenant, je vais y réfléchir.

@+

[EDIT] @Bridgslam : c'est quoi un répunit ? Un chiffre qui punit à nouveau ? (Là, on touche à l'abus de pouvoir... tss ! tss !)

Dernière modification par yoshi (14-08-2025 10:28:57)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Un nombre qui n'est pas un carré parfait

Bonjour,

@Yoshi,
repun, rep-unit, repunit... en base b ( accent aigu ou pas) :
orthographe non standard je crois!
Entier dont l'expression en base b n'est constituée que de 1,
Rép(éter) Unit(é). Ouah j'ai failli lâcher une caisse au passage avec un p (et?) mal placé :-)

Les repun en base 2 sont les nombres de Mersenne, au passage.

En numération décimale, il est possible de montrer par congruences assez facilement que 1 est le seul répunit carré.

Cordialement

Dernière modification par bridgslam (14-08-2025 12:25:57)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Un nombre qui n'est pas un carré parfait

Bonjour,

▼synthèse de l'approche par les 11111...1

La propriété est que pour n au moins égale à 2, la relation
$8R_n=a^2 -1$ est impossible.
On a reconnu $R_n$ le répunit en base dix constitué que de n "1".
a est forcément impair, cela se réécrit donc
$8 \times 111111...1 = 2k (2k+2)= 4k(k+1)$.
En simplifiant par 4, $R_n=k(k+1)/2$.
Le répunit de rang n égal à 1+10+100+... avec au moins deux termes serait donc aussi égal à la somme des k premiers entiers consécutifs, ce qui me dérange (preuve qui reste à expliciter rigoureusement par ailleurs)
Ainsi on retomberait sur nos pieds.

Avec un peu de travail, on peut non seulement montrer que 1 est le seul répunit carré, mais même le seul qui soit une puissance.

Bonne soirée

Dernière modification par bridgslam (14-08-2025 16:37:53)