Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Taguimdjeu

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Problème - arithmétique

Bonjour.
Pour s'amuser, trouvez le plus grand entier naturel n tel que
[tex]2024^n[/tex] divise [tex]2025![/tex].

Rescassol

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Re : Problème - arithmétique

Bonsoir,

Sauf erreur:

N, S = 2025, 0
while N:
   N=N//2
   S+=N
print(S//3)
 

Ce qui donne $672$.

Cordialement,
Rescassol

bridgslam

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Re : Problème - arithmétique

Bonjour,

▼une idée

2014, 200, 90 sont les exposants de 2,11,23 pour 2023! .
Dès lors le plus grand $n$ tel que $3(n-1) \le 2014$ et $n-1 \le 200$ et $n-1 \le 90$ est $91$.

C'est finalement de l'optimisation linéaire à une inconnue.
J'ai fait à la paluche le calcul des valuations p-adiques, avec l'expression de Legendre.
Peut-être une application en ligne est-elle disponible... sait-on jamais.
Sauf erreur ma réponse est donc 91.

Dernière modification par bridgslam (04-08-2025 00:14:40)

Taguimdjeu

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Re : Problème - arithmétique

Bonjour,

▼une idée

2014, 200, 90 sont les exposants de 2,11,23 pour 2023! .
Dès lors le plus grand $n$ tel que $3(n-1) \le 2014$ et $n-1 \le 200$ et $n-1 \le 90$ est $91$.

C'est finalement de l'optimisation linéaire à une inconnue.
J'ai fait à la paluche le calcul des valuations p-adiques, avec l'expression de Legendre.
Peut-être une application en ligne est-elle disponible... sait-on jamais.
Sauf erreur ma réponse est donc 91.

C'est exactement la réponse.
En utilisant la formule de Legendre on calcule les valuations p-ardiques de 2025! Pour p= 2 ;11 et 23.
Ensuite on prend
[tex]n=min (\nu_2 (2025!);\nu_{11} (2025!); \nu_{23} (2025!))[/tex]

bridgslam

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Re : Problème - arithmétique

Bonjour,

Légèrement plus simple, j'ai tenu compte du fait que 2024 et 2025 sont étrangers, et simplifié par 2024 ...
d'où mon laïus... avec n-1 au lieu de n et 2023! au lieu de 2025!.
Sinon tu as shunté le facteur 3 , 2-valuation de 2024, donc l'expression correcte sous forme de min est :
donc n = $min ( E( v_2/3), v_{11}, v_{23} )$ de la factorielle de 2025 ou $n-1 = min ( E( v_2/3), v_{11}, v_{23} )$ de la factorielle de 2023 ( correspondant plus à ce que j'ai fait).
Bonne journée.
Alain

Dernière modification par bridgslam (05-08-2025 10:34:07)

Rescassol

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Re : Problème - arithmétique

Bonjour,

Je corrige mon programme faux:

N, S = 2025, 0
while N:
   N=N//23
   S+=N
print(S)
 

Ce qui donne bien $91$.

Cordialement,
Rescassol