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bridgslam

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Vers la fin d'un exo intéressant ( anneaux décomposables )

Bonjour ,

Les anneaux considérés sont tous  non nuls et commutatifs.
Après en être arrivé à l'équivalence :

- un anneau A n'est pas isomorphe à un produit cartésien de deux anneaux.
- les seuls idempotents de A sont 0 et 1.

On dit alors que A n'est pas décomposable ( comme par exemple si A est intègre, visible directement).

on me demande ensuite  de prouver que tout anneau commutatif ayant un nombre fini d'idempotents est isomorphe au produit cartésien fini d'anneaux non décomposables.

J'aimerais valider cette question, que je masque, si quiconque veut y réfléchir par lui-même, il y a peut-être plus simple... mais je n'ai pas d'autre idée hélas.

▼voilà

Je procède par récurrence forte sur le nombre k  d'idempotents au moins égal à deux : 0 ,1.
Si k = 2 , c'est la question précédente, A est non décomposable , donc produit cartésien  : lui-même, une sorte de pléonasme.

Si k > 2 et que c'est vrai pour tous les entiers 2,..., k-1:
D'après la question précédente A est décomposable en un produit cartésien d'anneaux BxC.
On sait que le nombre d'idempotents de B et de C est fini , sinon A lui-même en aurait un nombre infini ( par exemple (i,0), (i',0), ..etc de même pour C: (0 , j), (0,j') etc).
De plus les nombres d'idempotents de B et de C sont strictement inférieurs à k,  sinon avec l'autre projection égale à 0 ou 1 on en aurait au moins deux fois plus pour BxC que dans A.
On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence forte à B et à C, et on termine par associativité du produit cartésien ( qui se transmet à l'isomorphisme).

Je trouve que c'est un peu lourd, je suis preneur si quelqu'un voit autre chose.
J'ai beau retourner le truc tous azimuts je ne vois rien d'autre, à supposer aussi que c'est juste.

La dernière question était de montrer que si A est fini, on a cette factorisation, c'est immédiat avec ce résultat-là.
Pas de question relative à l'unicité (à isomorphisme d'anneaux près et permutation des facteurs près) dans le sujet, j'imagine que c'est faux, peut-être des contre-exemples..

Alain

Dernière modification par bridgslam (25-07-2025 09:44:19)

Michel Coste

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Re : Vers la fin d'un exo intéressant ( anneaux décomposables )

Bonjour,
Les idempotents d'un anneau commutatif $A$ forment une algèbre de Boole avec $e\wedge f=ef$, $e'=1-e$ et par conséquent $e\vee f=e+f-ef$. 
Par ailleurs, $e$ est un atome de l'algèbre de Boole des idempotents de $A$ si et seulement si $A/(1-e)A$ est indécomposable.
Si l'algèbre de Boole des idempotents de $A$ est finie, elle est isomorphe à l'algèbre de Boole des parties de l'ensemble de ses atomes $e_1,\ldots,e_r$ qui sont des idempotents orthogonaux vérifiant  $e_1+\cdots+e_r=1$ et $A$ est isomorphe au produit cartésien $\prod_{i=1}^r A/(1-e_i)A$. On a bien alors unicité de la décomposition en produit d'anneaux indécomposables.

bridgslam

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Re : Vers la fin d'un exo intéressant ( anneaux décomposables )

Bonsoir,

Merci Michel Coste, ça apporte un bel éclairage sur le sujet, mais j'avoue que cela va largement au delà de mes connaissances en algèbre, relativement terre-à-terre.
Visiblement des scopes plus théoriques permettent d'aller beaucoup plus loin.
Vague flottement d'ailleurs en ce moment où je me demande si je dois creuser du côté de l'analyse ou de l'algèbre car les deux domaines m'intéressent beaucoup, l'idéal étant d'avancer sur les deux en parallèle, d'autant qu'ils s'interpénètrent... avec l'épée de Damoclès du "qui trop embrasse mal étreint".
Un bon point en tous cas est d'apprendre toujours de nouvelles choses, bien jolies, même si c'est fortement limité aux "moyens du bord".

Bonne fin de soirée
Alain