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#1 15-06-2025 10:08:47
- Ossekour
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- Messages : 21
Fibré principal pour une forme quadratique
Bonjour à tous,
Je planche sur un cours sur les formes quadratiques (celui de Clément de Seguins Pazzis), et je bloque sur une propriété de géométrie différentielle que je souhaiterais comprendre, mais pour lequel je ne dispose pas des connaissances suffisantes malgré mon bagage MPSI-MP.
Je dispose de la définition suivante pour un espace fibré : il s'agit de la donnée de :
○ une surjection continue $\pi$, appelée projection entre deux espaces séparés $E$ et $B$, dits respectivement espace total et base,
○ un espace séparé $F$, dit fibre sur lequel agit un groupe topologique $G$, dit groupe structural
○ d'un ensemble d'homéomorphismes (applications bijectives continues de bijection réciproque également continue, des cartes appelées trivialisations locales) :
\[ \phi_i : U_i \times F \mapsto \pi^{-1}(U_i) \]
Telles que la famille $(U_i)_{i \in I}$ vérifie les propriétés suivantes :
• $(U_i)_{i \in I}$ est un recouvrement de $B$ c'est-à-dire que $\bigcup_{i \in I} U_i \supset A$.
• Les cartes commutent avec les projections :
\[ \forall (b,y) \in U_i \times F, \pi(\phi_i(b,y))=b \]
• Pour tout couple de cartes $(\phi,\psi)$ définies sur le même ouvert $U \times F$, il existe une application continue $\theta : U \rightarrow G$ telle que :
\[ \forall (b,y) \in U \times F, \psi(b,y) = \phi(b,\theta(b) y) \]
Un fibré principal est un espace fibré pour lequel le groupe de structures agit librement et transitivement sur la fibre.
Maintenant, dans le cours, on montre que, pour toute forme quadratique non nulle de [tex]E[/tex], il existe alors un voisinage ouvert [tex]U[/tex] de [tex]q[/tex] dans [tex]\mathcal{Q}(E)[/tex] (l'ensemble des formes quadratiques dans [tex]E[/tex]) et [tex]s : U \rightarrow GL(E)[/tex] de classe [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex] telle que [tex]s(q)=\mbox{Id}_E[/tex] et [tex]\forall \varphi \in U, \varphi = q \circ s(\varphi)[/tex], propriété (P)
Cette propriété permet de conclure que, si l'on note [tex]\mathcal{E}(q)[/tex] l'ensemble des formes quadratiques sur [tex]E[/tex], équivalentes à [tex]q[/tex], l'application [tex]u \mapsto q \circ u[/tex], de [tex]GL(E)[/tex] dans [tex]\mathcal{E}(q)[/tex] constitue un fibré principal lisse de groupe structural [tex]O(q)[/tex].
Est-ce si évident que cela ? N'étant que débutant sur le sujet, je cherche à vérifier tous les points :
• L'espace total serait [tex]GL(E)[/tex], la base serait [tex]\mathcal{E}(q)[/tex], et [tex]F=G=O(q)=\{ u \in GL(E) : q \circ u = q \}[/tex] de ce que je comprends
• [tex]GL(E)[/tex] est métrisable (il existe une distance engendrant sa topologie) donc séparé. [tex]\mathcal{E}(q)[/tex] est isomorphe à [tex]S_n(\mathbb{K})[/tex], qui est métrisable donc séparé. L'application [tex]u \mapsto q \circ u[/tex], de [tex]GL(E)[/tex] dans [tex]\mathcal{E}(q)[/tex] est par construction surjective et continue car polynomiale en les coefficients de [tex]u[/tex].
• [tex]O(q)[/tex] est inclus dans [tex]GL(E)[/tex] donc séparé, et il agit sur lui-même.
• Soit [tex]\phi_0 \in \mathcal{E}(q)[/tex]. Il existe, par définition, [tex]u_0 \in GL(E)[/tex] tel que [tex]\phi_0=q \circ u_0[/tex]. La propriété au-dessus permet d'affirmer l'existence d'un voisinage ouvert $U$ de $q$ dans $E$, et une section locale $s : U \rightarrow GL(E)$ de régularité $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que :
\[ \forall \varphi \in U, \varphi= q \circ s(\varphi) \]
On pose alors :
\begin{align*}
\psi : U \times O(q) & \rightarrow \pi^{-1}(U)
\\ (\phi,g) & \mapsto s(\phi) \circ g
\end{align*}
Il faut montrer que $\psi$ est une bijection continue, de réciproque elle aussi continue. L'inverse de $\psi$ paraît accessible et est donnée par :
\begin{align*}
\theta : \pi^{-1}(U) & \rightarrow U \times O(q)
\\ u & \mapsto \Bigg( \pi(u), s \Big( \pi(u) \Big)^{-1} u \Bigg)
\end{align*}
Je n'arrive pas à montrer que $s \Big( \pi(u) \Big)^{-1} u \in O(q)$.
Je pars de ça : par définition de $\pi$ et $s$ :
\[ \pi(u)=q \circ u = q \circ s \Big( \pi(u) \Big) \]
Ainsi :
\[ q = q \circ \Big( u \circ u^{-1} \Big) = \Big( q \circ u \Big) \circ u^{-1} = \Bigg( q \circ s \Big( \pi(u) \Big) \Bigg) \circ u^{-1} \implies s \Big( \pi(u) \Big) \circ u^{-1} \in O(q) \]
Comme [tex]O(q)[/tex] est un groupe, donc stable par inverse, on en déduit que $u \circ s\Big( \pi(u) \Big)^{-1} \in O(q)$. C'est bien, mais ce n'est pas ce qu'on veut...
Je me demande si la construction des fibrés ne veut pas plutôt que l'on applique la propriété [tex](P)[/tex] sur [tex]\phi_0[/tex], de sorte que l'on ait en fait un ouvert [tex]U_0[/tex] dépendant de [tex]\phi_0[/tex], sachant que, comme [tex]\phi_0[/tex] et [tex]q[/tex] sont équivalentes, alors les groupes [tex]O(q)[/tex] et [tex]O(\phi_0)[/tex] sont isomorphes.
Quelqu'un peut-il, s'il vous plaît, m'aider à débloquer ce point et éventuellement à justifier la fin de la définition ?
Merci de votre attention,
Bonne journée.
Hors ligne
#2 16-06-2025 13:35:33
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Fibré principal pour une forme quadratique
Bonjour,
La propriété (P) telle que tu l'énonces est fausse. J'y croirais plus si dans l'hypothèse on avait $q$ non dégénérée au lieu de non nulle.
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