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Omhaf

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Triplets pythagoriciens bis

Bonjour à tous
Veuillez accepter de lire ces remarques probablement natives mais que j'ai constatées par hasard.
Cela concerne les triplets pythagoriciens entiers

Soient a et b les 2 côtés formant angle droit et h l'hypoténuse

1) si a  est pair, b est impair et vice versa et h est toujours impair
2) le côté pair additionné à h ou soustrait de h donne un carré entier
3) le côté impair additionné à h est le double d'un carré entier
4) Ceci est le point qui m'a le plus surpris
    soit a un entier pair
    $\sqrt {h+a} \times \sqrt {h-a}=b$
@+

Dernière modification par Omhaf (13-05-2025 07:53:49)

Michel Coste

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour,

Ta première assertion ne tient que si tu précises que le triplet pythagoricien $(a,b,h)$ est formé d'entiers $>0$ premiers entre eux dans leur ensemble (triplet pythagoricien primitif). Il est alors bien connu (voir par exemple la page wikipedia) que les triplets pythagoriciens primitifs sont les $(2pq, q^2-p^2, q^2+p^2)$ où les entiers $p,q$ vérifient $0<p<q$, $p$ et $q$ premiers entre eux et pas tous les deux impairs. Les propriétés que tu cites découlent de cette description.

Dernière modification par Michel Coste (09-05-2025 09:17:15)

yoshi

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Salut ami Omhaf,

Tu es donc toujours en chasse, ça maintient en forme...

Si a et b sont respectivement les mesures des longueurs des côtés d'un triangle rectangle, et h la mesure de la longueur  de son hypoténuse, alors dans ce triangle, d'après le théorème de Pythagore, on a :
$a^2 +b^2 = h^2$ et donc $h^2-a^2 =b^2$ ou $h^2-b^2 =a^2$...

Tu as constaté que :$\sqrt {h+a}\times \sqrt {h-a}=b$
Or, on peut écrire aussi :
$\sqrt {h+a}\times \sqrt {h-a}=\sqrt{(h+a)(h-a)}$

On a maintenant :
$\sqrt {h+a}\times \sqrt {h-a}=\sqrt{(h+a)(h-a)}=\sqrt{b^2}$
b étant positif, on a $b = \sqrt{b^2}$

J'ai donc montré que $\sqrt {h+a}\times \sqrt {h-a}=\sqrt{(h+a)(h-a)}=\sqrt{b^2}=b$

ça te va aussi comme ça ?
                   -----------------------------------------------------------------------
Soit $n$ un entier impair quelconque, je t'avais montré (je chercherai la référence) :
$\left(n,\,\dfrac{n^2-1}{2},\, \dfrac{n^2+1}{2}\right)$
est un triplet Pythagoricien :
$n^2+ \left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2 =\left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2$...

Et si tu remplaçait $a$ par $n$, $b$ par $\frac{n^2-1}{2}$, $h$ par $\frac{n^2+1}{2}$
et que tu reprenais les calculs ci-dessus, tu remarquerais aussi que :
$\sqrt{\frac{n^2+1}{2}+n}\times \sqrt{\frac{n^2+1}{2}-n}=\frac{n^2-1}{2}$

@+

Omhaf

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Re,
Merci Michel Lacoste Merci yoshi
Grand plaisir de te lire yoshi depuis des mois d'oisiveté de ma part c'est pour reprendre un peu de forme comme tu dis
Merci d'abord pour ta correction discrète de mon code latex( ou merci à celui qui l'a fait discrètement)
et merci surtout pour le plaisir que je reçois en relisant mes idées remises en ordre  et interprétées dans les règles de l'art mathématique (oui les maths c'est aussi de l'art quand c'est bien exposé et bien développé)
Et (sourire) depuis une semaine que j'essayai de défier Pythagore en cherchant une méthode de calcul de l'hypothènuse sans passer par sa formule h²=a²+b² qui rencontre don QUichotte lui passe mon bonjour car je cherche à le rejoindre hhhhhh
@+

Dernière modification par Omhaf (09-05-2025 14:43:22)

yoshi

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonsoir,

Rectifier discrètement  une formule Latex permet :
- de ménager la susceptibilité éventuelle de celui (ou celle) dont le post a été rectifié (lui seul le saura)
- à celui (ou celle) dont le post a été rectifié, s'il en a la curiosité de voir le post tel qu'il a été  écrit (i.e donc pas le produit fini) formules brutes comprises aussi bien chez lui que dans n'importe quel autre post (là, dans ce cas, il suffit de passer, par exemple, par la mention - en bas et à droite dudit post - Citer.

Cher Omhaf, si tu veux qu'une formule Latex "marche", cette formule doit être encadrée par des dollars...
Si par hasard, tu n'appréciais pas cette monnaie, voire la façon dont certain Président joue avec, tu peux encore :
- sélectionner toute ta formule,
-puis  cliquer dans la barre d'outils de rédaction des messages sur le 1er icône à gauche où il est écrit [tex]T_EX[/tex]...

Tu peux encore te familiariser avec $L_AT_EX$ en cliquant en bas à gauche du cadre de rédaction des messages sur le lien : Code Latex

@+

Bernard-maths

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Hum ...

Quel baratin ... ça donne soif. Mais il est vrai qu'une fois le bar atteint, on peut étancher sa soif ...

(;-) B-m(-w)

Omhaf

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Re : Triplets pythagoriciens bis

no comment !

yoshi

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour,

Ô vénérable (et vénéré !) Maître Bernard lhermite, voire l'ermite (ce qui expliquerait la qualification de "baratin" d'une douzaine de lignes), souffrez mon bon, que je vous convie au Bar à thym...
12 lignes, c'est bien peu, si ça te tente, je peux t'en mettre 3/4 pages, sans souci !

Bon, trêve de fadaises... Bernard, j'ai retrouvé un dossier complet concernant Maple...
Certes, ça doit commencer à dater...
Cela dit, si t'en veux, je peux le scanner page par page, dès que mon ordi aura reçu son exeat pour fin de "soins intensifs"...
Parce que Vista, c'est bien gentil mais couplé à un HD de 100 Go, je ne vais pas bien loin...

@+

[EDIT]
Hors-sujet.
Les medias ont glissé rapidement sur une particularité du nouveau pape : il a obtenu un bachelor en mathématiques à l’université Villanova près de Philadelphie en 1977.
J'ai cherché la correspondance chez nous et j'ai lu :

Après avoir obtenu son Bachelor's degree aux Etats-Unis, l'étudiant peut donc continuer son cursus en France en master.

Bigre ! Excusez du peu...

Sur un site d'orientation Helvète, j'ai trouvé aussi :

Le bachelor vise l’acquisition de connaissances fondamentales en algèbre, algèbre linéaire, analyse, géométrie et topologie, calcul numérique, statistiques et probabilités.

Quelqu'un a-t-il la lumière suffisante pour préciser ?...

Il y a eu deux précédents...
- Sylvestre II (alias Gerbert d'Aurillac) à qui on doit notamment  l'introduction des chiffres, dits arabes, en France et leur écriture des chiffres sur des jetons en corne, facilitant les calculs,
- Un deuxième, Léon III (tiens !) qui a sérieusement fricoté avec les carrés magiques, au point de faire figurer un carré magique d'ordre 9 dans un opuscule (l'Enchiridion). Essayez donc, vous, pour voir...

@+

Dernière modification par yoshi (10-05-2025 14:20:22)

Bernard-maths

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour Yoshi ! Et à Omhaf, pour son commentaire ...

Ouf ! Tu n'as pas l'air de m'en vouloir ... à moins que tu ne me propose un machin tout en américain  ...?

Dans les années 78-80, je me suis farci tous les modes d'emploi des nouveaux ordis qui sortaient, en tout j'avais calculé environ 10 000 pages ! Maintenant j'en ai ma claque. Alors comme scanner est un boulot du diable, en fait je cherche surtout des exemples géométriques, que j'ai beaucoup de mal à trouver !

Une liste des commandes et fonctions, avec exemples ... quelques figures ...?

Bon, à part ça, personne n'a répondu à ma demande : que penser du 0 sur 0 !!!

Je trouve ça un peu gros, alors que ça tourne sur GeoGebra.

Alors toi ?

... et Omhaf ?

Merci, à + donc,

B-M

yoshi

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Re : Triplets pythagoriciens bis

@B_mw,
cher camarade,

Mon dossier Maple date de 1997 : il est composé de 300/400 pages  dactylographiées (+ des progs écrits à la main) et d'un fascicule broché intitulé

Irem                                  Université Joseph Fourier       
de Grenoble                     

Initiation à Maple V
fiches de formation

origine : "Groupe calcul formel" (et les noms suivent)
Sommaire dudit "fascicule" (au moins 200 pages)

Sommaire

Découverte de Maple V
Maple V dans l'environnement windows

Fiches

     1.  Calculs numériques
     2.  Factorielles
     3.  Combinatoire
     4.  Probabilités
     5.  Arithmétique
     6.  Polynômes
     7.  Equations - Inéquations
     8.  Suites géométriques
     9.  Quelques limites
   10.  Dérivation
   11.  Fonctions
   12.  Intégration
   13.  Nombres complexes
   14.  Equations différentielles
   15.  Suites classiques de nombres entiers
   16   Combinatoire et programmation
   17.  Suites récurrentes
   18.  Arcs paramétrés
   19.  Courbes en polaire
   20.  Matrices
   21. Développements limités
   22.  Surfaces

Annexe

Résumé des commandes utilisées

Je scannerai ce qui t'intéresse, transformerai ça en pdf  et et le ferai le parvenir.
Je tiens tout ça de quelqu'un qui a dû suivre des stagr de formation/initiation en Maple avec l'Irem, en tout cas, pas moi mais qui ?...
Bof, ça n'a d'intérêt que pour moi, nouveau cheval de bataille : me souvenir de qui était qui..
Bin, c'est pas gagné...

@+

Bernard-maths

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonsoir tovaritch Yoshi !

Ta proposition est super sympa. J'ai en fait accès par internet à beaucoup d'information, mais les exemples liés sont peu nombreux, et disons simplets.

Quand je fais certains essais, ça coince, et je ne sais pas pourquoi ... alors que parfois ça tourne avec GeoGebra !

Mais il est limité en 3D, alors que Maple peut faire beaucoup.

Donc je ne vais pas te solliciter sans être certain du résultat !

Mille mercis, et bonne soirée,

Bernard-maths

PS : la firme allemande s'appelle BMW car quand ses fondateurs étaient gamins, ils jouaient aux voitures en faisant "bmv bmv " avec la bouche. Info confidentielle, bien sur.

yoshi

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Ave Bernard,

Voilà 3 exemples d'images... et les codes !
Ce groupe calcul formel avait mis au point en96/97 une "extension" pour Maple V nommée GeoIrem Je cherche à mettre la main dessus depuis hier matin - sans succès - : j'ai quand même retrouvé sa mention sur le site de l'IREM de Grenoble, mais pas de trace de téléchargement possible...
Bah, espérons en notre bonne étoile...

J'espère seulement que les codes que je te fournis fonctionnent sans...
Parce que sur une fiche figure l'image d'un "17gone régulier" réalisé avec, plus les lignes de commande à fournir à Maple pour le calcul de la valeur exacte de l'angle pour le tracé.

@+

Bernard-maths

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Merci, je vais essayer.

Mais je suis un peu HS, je tousse et crache ... (et non pas : je couche et trace ...)

Le 17gone m'intéresse ...

0+, B-m

jelobreuil

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour Bernard,
Si une construction d'un heptadécagone quasi parfait , réalisable "à la règle et au compas", t'intéresse, voici un lien vers la construction la plus exacte que j'aie pu trouver : l'écart-type des valeurs des angles est inférieur à trois dix-millièmes de degré ...
https://www.geogebra.org/classic/qt8hdkju
Amicalement, JLB

yoshi

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonsoir,

"Ma" page consacrée à Maple présente la construction de RICHEMOND (1893) de l'heptadécagone, le calcul de la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{17}\right)$ et apporte la preuve (hélas avec l'extension GeoIrem) qu'elle est bien exacte...
Je scannerai les pages qui lui sont consacrées, je te ferai part du tout mais n'afficherai que la première page qui présente un cercle de 16 cm de diamètre (à la louche) bien plus claire que cette présentation :
https://www.physinfo.org/annexes/heptadecagone.pdf...

JLB, ça te dirait ?...

@+

Bernard-maths

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour à tous !

Merci pour vos docs !

Je touche et j'encrasse encore, mais ça devrait aller de mieux en mieux ...

B-m

jelobreuil

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour Yoshi, Bernard et tous,
Merci beaucoup Yoshi ! Je ne connaissais pas cette construction, j'en étais resté à celle de Gauss (je crois), bien plus compliquée dans mon souvenir, qu'il me semblait avoir vue dans le petit livre "Les nombres et leurs mystères" d'André Warusfel. Mais vérification faite, j'ai dû l'apercevoir ailleurs, car celle qui figure dans ce livre, c'est bien celle de Richmond ! Ou alors, je confonds avec la figure de la construction du polygone constructible suivant, avec je ne sais plus combien de côtés ...
Je sais, bien sûr, que l'heptadécagone est constructible à la règle et au compas, contrairement à beaucoup d'autres ... Mais c'est devenu l'un de mes passe-temps favoris, de m'amuser à chercher, avec Geogebra, des constructions approchées le plus "exactes" possible des polygones de degré impair, réalisables "à la règle et au compas".
Pour l'ennéagone, par exemple : https://www.geogebra.org/classic/z3vb45vj  et https://www.geogebra.org/classic/utmhuq2v
Et comme cela fait longtemps que je m'y adonne, j'en ai "pas mal" ! J'ai d'ailleurs le "projet" d'en faire un petit recueil, pour celles et ceux qui seraient intéressé(e)s ...
Et pour ta proposition, bien sûr que "cela me dit" !
En toute amitié, Jean-Louis B.

yoshi

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour,

Je viens de récupérer ma bécane, ouf !

Voilà la page promise.

J'espère que la construction est complète...
Je m'attelle aux autre pages, je les PDFise, je rassemble ensuite toutes les pages pdf en une seule, j'uploade le doc et je vous donne le lien.

Dans mon post précédent j'évoquais l'extension GeoIREM...
Je ne l'ai pas récupéré, mais j'ai la liste des fonctions ajoutées et ce qu'elles sont censées faire.
De plus, leur nom comporte une majuscule et une seule d'où j'en ai inféré que les formules permettant les 3 images que j'y ai posté sont du Maple pur et dur et qu'il devrait être possible de la avoir à l'écran...

@+

Omhaf

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour à tous
Je viens de publier sur youtube une nouvelle méthode de calcul de l'hypoténuse d'un triangle rectangle sans utiliser le théorème de Pythagore.
Je vous prie de bien vouloir la consulter et me donner vos avis
Merci d'avance
https://youtu.be/-jWaZtvcWC4
@+

Dernière modification par Omhaf (01-06-2025 02:18:17)

Rescassol

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour,

Et comment fais tu si, par exemple, on donne $a=\pi$ et $b=e^3$, c'est à dire des nombres non entiers et ne pouvant pas se ramener à des nombres entiers ?

Cordialement,
Rescassol

Omhaf

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Re
Merci Rescassol,

Ma démarche porte sur les nombres entiers seulement, et je ne prétends pas que cette méthode est universelle

@+

Omhaf

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Re,
Je m'attendais à des réactions à ma vidéo , mais malheureusement je n'ai lu que celle de Rescassol ( que je remercie)
Je n'ai aucune prétention, tout ce que je voudrais lire ce sont vos remarques, conseils ou corrections.

Merci d'avance.
@+

Bernard-maths

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour à tous ! Bonjour Omhaf !

Je suis pris par d'autres activités ... et je ne suis pas de près vos cogitatons ...

Toutefois, les triplets "se trouvent" dans un demi rectangle dans un plan.

Si on passe en 3D, on peut utiliser un parallélépipède rectangle, de dimensions d'arêtes a, b et c, alors la "grande" diagonale de mesure d est telle que d² = a² + b² + c².

Par exemple si a = 3, b = 4, c = 12, alors d = 13 ... d'où quadruplet Pythagoricien ?

Je n'ai pas cherché, mais j'imagine que ça existe déjà !?

On doit aussi trouver des quintuplets, des sextuplets ... Pythagoriciens ???

Bonnes cogitations,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (05-06-2025 09:51:25)

Roro

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour,

Pour répondre partiellement à Bernard : "Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés".

Il y a donc très beaucoup de quadruplets pythagoriciens comme tu les appelles !

Roro.

Bernard-maths

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Re : Triplets pythagoriciens bis

Bonjour Roro !

1 par exemple ...?

Ou bien : tout nombre (>1) a un carré égal à la somme de 4 carrés ...?

Je n'ai pas cherché plus loin que le bout de mon nez ...

Bernard-maths