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Gurdil

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Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonjour à tous,

Le problème que je vais soumettre ici n’a pas de visée scolaire, mais résulte d’un raisonnement personnel. Mon niveau en mathématiques étant relativement modeste, je peine à trouver une solution rigoureuse à cette question, que je trouve pourtant assez intéressante. Je vous la propose donc ici avec plaisir.

Je remercie par avance toute personne qui prendra le temps de lire ce message et éventuellement d’y répondre, même partiellement.
Toute piste ou intuition, même partielle, sera la bienvenue.

J’espère également ne pas poster dans la mauvaise section ; si tel est le cas, je vous prie de m’en excuser.

Je suis amateur du Cul de Chouette, un jeu de dés loufoque issu de la série Kaamelott.
On peut en consulter les règles ici :
https://fr.wikibooks.org/wiki/Bo%C3%AEt … e_chouette

Voici un résumé rapide des combinaisons de base (niveau 1) pour ceux qui ne souhaiteraient pas consulter le lien :
   - La Chouette : deux dés identiques, ex. (2, 6, 2)

   - La Velute : la somme de deux dés donne la valeur du troisième, ex. (4, 6, 2)

   - La Chouette-Velute : une Chouette et une Velute en même temps, trois cas seulement : (1,1,2), (2,2,4), (3,3,6)

   - Le Cul de Chouette : trois dés identiques, ex. (5,5,5)

   - La Suite : trois dés qui se suivent (ordre quelconque), ex. (2,4,3)

   - Le Néant : aucune des conditions ci-dessus n’est remplie

C’est là que surgit ma question.

Je me suis demandé : quelles sont les probabilités exactes d’obtenir chaque type de combinaison ?
Mais je bute sur les outils combinatoires nécessaires à une analyse rigoureuse.

Ma première intuition a été de dire qu’il y avait 6 faces et 3 dés, donc 6^3 = 216 combinaisons possibles (ordre pris en compte).
Mais dans le jeu, l’ordre des dés n’a pas d’importance : par exemple, (2,2,5) est équivalent à (2,5,2) ou (5,2,2).

Dès lors, j’ai supposé qu’il fallait plutôt tenir compte des combinaisons où les éléments peuvent se répéter, mais où l’ordre ne compte plus. En appliquant la formule classique du nombre de combinaisons avec répétition : (n+k-1)!/k!(n-1)! et où n = 6 et k = 3), j'ai trouvé 8!/3!5!=56 combinaisons différentes.

Je me retrouve donc face à deux approches :

- Soit je travaille avec les 216 cas possibles (si l’ordre des dés compte mais cela ne me paraît pas être la bonne approche);

- Soit je travaille avec les 56 combinaisons uniques (si seul le contenu des dés compte, indépendamment de leur position).

Je ne suis pas sûr de la bonne approche pour estimer précisément les probabilités des différentes combinaisons du jeu (Chouette, Velute, etc.).

Enfin, je me demande si un modèle mathématique plus général (probabilités conditionnelles ? ensembles disjoints ? autre ?) serait adapté, ou s’il faut simplement répertorier manuellement les cas dans un tableau.

Par exemple, la combinaison (1,1,3) correspond à une Chouette. Cela représenterait 1/56 si on considère cet ensemble comme base, mais comment généraliser ce raisonnement pour estimer toutes les Chouettes, sans compter les Chouette-Velute comme (1,1,2) ?

Je m’arrête là pour le moment, c’est déjà un bon début il me semble.

Merci encore pour votre attention !

Bien cordialement,

Gurdil

Michel Coste

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonsoir,
On a toujours intérêt à travailler avec un univers où toutes les issues sont équiprobables. Donc, ici, à tenir compte de l'ordre des dés de telle façon qu'on à $6^3=216$ issues.

Dernière modification par Michel Coste (19-04-2025 07:26:43)

Rescassol

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonsoir,

Un petit programme Python:

# Jeu du cul de chouette

def Chou(x,y,z):
    return x==y or y==z or z==x

def Velu(x,y,z):
    return x+y==z or y+z==x or z+x==y

def Chouette(x,y,z):
    return Chou(x,y,z) and not Velu(x,y,z)

def Velute(x,y,z):
    return Velu(x,y,z) and not Chou(x,y,z)

def ChouetteVelute(x,y,z):
    return Chou(x,y,z) and Velu(x,y,z)

def CulDeChouette(x,y,z):
    return x==y and y==z

def Suite(x,y,z):
    return x+y+z==3*(min((x,y,z))+1)

chouette, velute, chouettevelute, culdechouette, suite, neant = 0, 0, 0, 0, 0, 0

for a in range(1,7):
    for b in range(1,7):
        for c in range(1,7):
            if CulDeChouette(a,b,c):
                culdechouette+=1
            elif Velute(a,b,c):
                velute+=1
            elif Chouette(a,b,c):
                chouette+=1
            elif ChouetteVelute(a,b,c):
                chouettevelute+=1
            elif Suite(a,b,c):
                suite+=1
            else:
                neant+=1

Resultat=(chouette, velute, chouettevelute, culdechouette, suite, neant)
print(Resultat)
 

Ce programme affiche: $(81, 36, 9, 6, 18, 66)$.
Il n'y a plus qu'à diviser par $6^3=216$ pour avoir les probabilités.
Ça ne dispense pas de démontrer pour vérifier.

Cordialement,
Rescassol

Gurdil

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonsoir Michel Coste, et merci pour votre réponse !

Dans ce cas je vais suivre votre conseil et travailler dans cet univers où toutes les issues sont équiprobables. Cela me semble plus simple en prime.

Cordialement,

Gurdil

Gurdil

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonsoir Rescassol,

Merci pour votre réponse et pour le programme Python que vous avez partagé, qui me semble très adapté au problème. Je l'apprécie beaucoup et il m'inspire déjà plusieurs idées pour améliorer les conditions des combinaisons dans le cadre de mon propre projet de développement du jeu du Cul de Chouette en JavaScript pour une version web.

Cela dit, ce n'est pas vraiment le sujet de notre discussion.

Après avoir lu attentivement votre code, une question m'est venue à l'esprit.

Il existe une combinaison un peu traîtresse : (1,2,3). Selon les règles du jeu, cette combinaison et ses 5 permutations peuvent être à la fois une Suite et une Velute. Je me demande donc si, dans ce cas, le nombre de suites ne devrait pas passer de 18 à 24 ? Si tel est le cas, cela semble provoquer un dépassement du numérateur par rapport au dénominateur, ce qui me semble problématique.

Je me demande donc comment traiter ce cas spécifique, car il est bien différent des combinaisons Chouette-Velute, où les totaux des chouettes et des velutes ne s'incrémentent pas de manière à modifier le total des Chouette-Velute, par exemple.

Si vous avez des éléments de réponse, je suis preneur.

Cordialement,

Gurdil

Rescassol

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonsoir,

J'ai commis une erreur en ne tenant pas compte du fait qu'il existe une suite-velute (1,2,3).
Je suppose qu'il faut créer une catégorie suite velutée.
Ça ne change rien au principe. Il faut modifier la fin ainsi:

suite-=6
velute-=6
suitevelute=6
neant+=6
Resultat=(chouette, velute, chouettevelute, culdechouette, suite, suitevelute, neant)
print(Resultat)
 

Et le résultat est $(81, 30, 9, 6, 12, 6, 72)$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (18-04-2025 23:07:01)

Gurdil

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonjour Rescassol,

Je suis d'accord sur le principe, mais le résultat me semble un peu étrange.

J’ai donc pris le temps de poser toutes les combinaisons possibles dans un tableur. Le résultat obtenu diffère légèrement de celui fourni par ton script : j’obtiens six suites supplémentaires et, en conséquence, six néants en moins. Aurais-tu une idée de l’origine de cette différence ? J’ai validé manuellement chaque combinaison, mais c’est un travail assez long, et une erreur de ma part reste possible.

Je joins une capture de mon Excel, en espérant qu’elle pourra être utile à la discussion.

Cordialement,

Gurdil

Rescassol

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonjour,

Oui, il y avait encore une erreur de ma part.
Voilà le programme complet qui donne les mêmes résultats que toi:

# Jeu du cul de chouette

def Chou(x,y,z):
    return x==y or y==z or z==x

def Velu(x,y,z):
    return x+y==z or y+z==x or z+x==y

def Suit(x,y,z):
    return x+y+z==3*(min((x,y,z))+1)

def Chouette(x,y,z):
    return Chou(x,y,z) and not Velu(x,y,z)

def Velute(x,y,z):
    return Velu(x,y,z) and not Chou(x,y,z) and not Suit(x,y,z)

def ChouetteVelute(x,y,z):
    return Chou(x,y,z) and Velu(x,y,z)

def CulDeChouette(x,y,z):
    return x==y==z

def Suite(x,y,z):
    return Suit(x,y,z) and not Velu(x,y,z)

def SuiteVelute(x,y,z):
    return Suit(x,y,z) and Velu(x,y,z)

culdechouette, chouettevelute, chouette, velute, suite, suitevelute, neant = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

for a in range(1,7):
    for b in range(1,7):
        for c in range(1,7):
            if CulDeChouette(a,b,c):
                culdechouette+=1
            elif Velute(a,b,c):
                velute+=1
            elif Chouette(a,b,c):
                chouette+=1
            elif ChouetteVelute(a,b,c):
                chouettevelute+=1
            elif SuiteVelute(a,b,c):
                suitevelute+=1
            elif Suite(a,b,c):
                suite+=1
            else:
                neant+=1

Resultat=(culdechouette, chouettevelute, chouette, velute, suite, suitevelute, neant)
print(Resultat)
print('Total =',sum(Resultat))
 

Qui affiche:

(6, 9, 81, 30, 18, 6, 66)
Total = 216
 

Cordialement,
Rescassol

Ernst

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Voici un résumé rapide des combinaisons de base (niveau 1) pour ceux qui ne souhaiteraient pas consulter le lien :
   - La Chouette : deux dés identiques, ex. (2, 6, 2)

   - La Velute : la somme de deux dés donne la valeur du troisième, ex. (4, 6, 2)

   - La Chouette-Velute : une Chouette et une Velute en même temps, trois cas seulement : (1,1,2), (2,2,4), (3,3,6)

   - Le Cul de Chouette : trois dés identiques, ex. (5,5,5)

   - La Suite : trois dés qui se suivent (ordre quelconque), ex. (2,4,3)

   - Le Néant : aucune des conditions ci-dessus n’est remplie

Bonjour,

Pour ma part je trouve ces résultats :
Analyseur de combinaisons de dés

Rescassol

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonjour,

Ernst, ton total ne fait pas $216$ parce que tes catégories ne sont pas disjointes.
Il ne faut pas par exemple compter $(1,2,3)$ à la fois dans les  chouettes, les velutes et les chouettes velutes.
A moins que Gurdil ne nous dise le contraire.

Cordialement,
Rescassol

Michel Coste

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

C'est assez facile de calculer sans faire appel à un ordinateur :

Chouettes, suites et culs de chouette sont disjoints.
Pour les chouettes, 6 possibilités pour le nombre tout seul, 3 possibilités pour son emplacement, 5 possibilités restantes pour le nombre double : 6 x 3 x 5 = 90
Pour les suites : il y en a 3! x 4 = 24
Pour les culs de chouette  : 6

Comptons maintenant les velutes, la somme s peut valoir de 2 à 6, il y a 3 emplacements possibles pour cette somme et le premier emplacement en dehors de la somme peut prendre les valeurs de 1 à s-1 : 3 x (5 x 6)/2 = 45.
Parmi ces velutes, il y en a 3 x 3 = 9 qui sont aussi des chouettes et 3! = 6 qui sont aussi des suites.

Il reste 216 - 90 - 24 - 6 - 45 + 9 + 6 = 66 néant.

Ernst

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonsoir,

Ernst, ton total ne fait pas $216$ parce que tes catégories ne sont pas disjointes.
Il ne faut pas par exemple compter $(1,2,3)$ à la fois dans les  chouettes, les velutes et les chouettes velutes.

Ah bon ? Je serais curieux de savoir pourquoi.

Perso je ne me permets aucune interprétation. Il est dit que tel résultat s'appelle 'machin', je compte toutes les occurences sans exception et je dis que 'machin' apparaît exactement tel nombre de fois. Il est dit ensuite que tel autre résultat s'appelle 'chose', je compte le nombre de fois où 'chose' apparaît. Il est dit enfin que quand un tirage est à la fois 'machin' et 'chose', on l'appelle 'machin-chose', eh bien je compte les occurences de 'machin-chose'.

De la sorte, je suis sûr d'avoir l'exact pourcentage de chaque catégorie. Si ça se trouve il est possible de tracer à partir de cela de magnifiques diagrammes de Venn, je n'en ai aucune idée, je laisse cela aux spécialistes.

Rescassol

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonjour,

Au poker, quand tu as un brelan, tu ne comptes pas que tu as en même temps trois paires.

Cordialement,
Rescassol

Gurdil

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonsoir à tous,

Il semblerait qu'on tombe d'accord, Rescassol ! Toutefois, ton script est nettement plus propre que mon tableur…

-----

Merci pour ta participation, Ernst. Cela dit, il est effectivement nécessaire que les catégories soient disjointes - j’aurais peut-être dû le préciser, et je m’en excuse. Même si ta réponse n’est pas totalement fausse, elle ne correspond pas tout à fait aux conditions du Cul de Chouette.

L’idée de départ est que, lorsqu’une combinaison est réalisée, on gagne un certain nombre de points pour cette seule combinaison, et non pour toutes celles qu’elle contient.

Pour éclaircir ce point, voici le calcul des points pour quelques combinaisons :

Chouette : valeur du dé au carré. Ex. : (4,4,5) → 4² = 16 points

Velute : deux fois la valeur maximale du jet au carré. Ex. : (1,4,5) → 2 × 5² = 50 points

Chouette-Velute : même valeur que la Velute.

Ainsi, une Chouette-Velute (3,3,6) rapporte 2 × 6² = 72 points, mais pas en plus les points de la Chouette.
Pour ce lancer, on gagne donc 72 points, et non 72 + 3² = 81 points.

J’espère que cette précision aidera à mieux cerner la logique du jeu.

Finalement, on rejoint ce que disait Rescassol dans son dernier message : on compte l’unique combinaison réalisée, sauf exception (comme la Suite-Velutée, cas très particulier où l’on peut à la fois gagner et perdre des points).

------

Merci à toi, Michel Coste, pour ta démonstration manuscrite, qui semble bien coïncider avec les résultats précédents ! En revanche, je ne suis pas certain d’avoir bien compris le passage sur le calcul des Velutes :

"Comptons maintenant les velutes, la somme s peut valoir de 2 à 6, il y a 3 emplacements possibles pour cette somme, et le premier emplacement en dehors de la somme peut prendre les valeurs de 1 à s-1 : 3 × (5 × 6)/2 = 45."

Pourrais-tu reformuler ce passage, s’il te plaît ?

Cordialement,

Gurdil

Gurdil

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

J'aimerais poser une seconde question mathématique, si vous le permettez.

Dans le Cul de Chouette, lorsqu'on réalise une Chouette, il est possible d'effectuer un Sirop.
Le Sirop consiste à relancer le troisième dé différent pour tenter de transformer la Chouette en Cul de Chouette.

Siroter implique de mettre en jeu les points de la Chouette, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore été ajoutés au score du joueur. Par exemple, si un joueur a 50 points, qu'il effectue une Chouette de 3 et qu'il décide de siroter, il peut soit rater son Sirop et passe alors à 50 - 3² = 41 points, soit réussir son Sirop, auquel cas il passe à 50 + (40 + 10 × 3) = 120 points, un Cul de Chouette rapportant 40 + 10 × la valeur du dé.

La question que je me pose est la suivante : Pour quelles Chouettes est-il intéressant de siroter, sachant qu'avec un dé équilibré il y a 1 chance sur 6 de réussir son Sirop ?

J'avais envisagé la piste de l'espérance mathématique, mais je ne suis pas sûr que ce soit la bonne solution.

Si l'on prend par exemple la Chouette de 3, le calcul de l'espérance est le suivant :
E = (1/6 × 70) + [5/6 × (-9)] = 4,17.

Cela signifie qu'il y a une chance sur 6 de gagner 70 points, et 5 chances sur 6 de perdre 9 points. En moyenne, sur un grand nombre de tentatives de Sirop sur des Chouettes de 3, on gagnerait 4,17 points. Il semble donc que siroter soit intéressant dans ce cas.

J'attends vos retours concernant cette solution potentielle.

Merci à tous encore une fois pour votre participation très appréciée.

Cordialement,

Gurdil

Michel Coste

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

En revanche, je ne suis pas certain d’avoir bien compris le passage sur le calcul des Velutes :

"Comptons maintenant les velutes, la somme s peut valoir de 2 à 6, il y a 3 emplacements possibles pour cette somme, et le premier emplacement en dehors de la somme peut prendre les valeurs de 1 à s-1 : 3 × (5 × 6)/2 = 45."

Pourrais-tu reformuler ce passage, s’il te plaît ?l

Je pense avoir tout dit, de façon concise. Cela m'aiderait de savoir plus précisément à quel endroit ça coince pour toi. Ce que je peux faire, c'est prendre un exemple. Mattons que la somme s vaut 5 et qu'elle se trouve en deuxième position. Les 4 = s-1 possibilités sont
1,5,4     2,5,3    3,5,2     4,5,1
Après, ce qu'il faut savoir est que la somme des entiers de 1 (pour s=2) à 5 (pur s= 6) vaut (5 x 6)/2.

Gurdil

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonjour Michel Coste,

Je te remercie pour ton explication avec exemple.
Ce dernier me permet de mieux cerner le cheminement pour le calcul des Velutes.

Ta démarche pour tout calculer est très intéressante et instructive, je t'en remercie.

Cordialement,

Gurdil

Gurdil

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Re : Analyse combinatoire et probabilités dans un jeu de dés

Bonjour à tous,

Je vois que personne n'a répondu à mon questionnement sur l'espérance mathématique pour les gains du Sirop.
Il me semble que c'était effectivement la bonne démarche et j'ai donc pu établir un petit tableau concernant cette action.

J'aurais bien eu une autre question plus complexe à mon sens faisant suite au Sirop, mais j'ai peur de vous embêter.
Si jamais quelqu'un est intéressé, qu'il me le fasse savoir, et je poserais ma question !

Merci encore à tous pour votre aide.

Cordialement,

Gurdil