Forum de mathématiques - Bibm@th.net

PhilT1

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Diviseurs d'un nombre entier naturel

Bonjour

une fois un nombre décomposé en produit de facteurs premiers et la totalité de ses diviseurs listée dans l'ordre croissant, comment démontrer dans le cas général la propriété selon laquelle le produit de deux diviseurs équidistants des extrêmes ( 1 et le nombre entier) est égal au produit de ces deux derniers (donc au nombre lui-même).

Par exemple, soit le nombre n qui se décompose en [tex]n = a^p.b^q.c^r[/tex]

avec a, b et c nombres premiers
p, q et r entiers naturels
(p+1).(q+1).(r+1) diviseurs

Ce qui m'intéresse ici, c'est la démarche générale. Pour simplifier, on peut supposer  [tex] p \geq q \geq r[/tex].

Merci de m'indiquer comment établir cette méthode en restant sur une démonstration littérale, ou de m'indiquer un article qui fournit la démonstration. Avant de poster, j'ai cherché une telle démonstration sur un site, sans succès après une bonne dizaine de consultations.
D'où ma sollicitation.

Merci par avance

DeGeer

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

Bonjour
Je pense qu'on peut écrire la liste des diviseurs de $n \geq 2$ dans l'ordre croissant : $d_0=1 < ... < d_r=n$ puis montrer que pour tout $k \in [\![0,r]\!]$, $d_kd_{r-k}=n$ par récurrence forte sur $k$, en utilisant notamment le fait que si $\ell < k$, alors $d_kd_{r-\ell}>d_{\ell}d_{r-\ell}=n$.

Dernière modification par DeGeer (15-04-2025 16:42:34)

PhilT1

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

>> DeGeer

merci pour la piste fournie.
Je conçois qu'une récurrence simple ne permettrait pas d'aboutir. Après avoir validé l'initialisation, je ne parviens pas à utiliser le fait que, si pour TOUS les entiers inférieurs à k, on vérifie la relation [tex]\forall k \in [[0;r]], d_k.d_{r-k} = n[/tex], alors on puisse en déduire que [tex] d_{k+1}.d_{r-(k+1)} = n[/tex].

Pour ce qui concerne l'introduction de l'indice [tex]l[/tex], je comprends intuitivement l'inégalité qui en résulte, mais j'avoue pour l'instant ne pas saisir (même si je suis persuadé de l'existence d'une bonne raison à cela) dans quelle mesure elle peut m'aider à finaliser la démonstration.

Donc par rapport à mon état d'avancement peux-tu stp m'en dire/écrire un peu plus.

Merci pour ton aide.

DeGeer

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

Si tu fixes un $k$ entre $0$ et $r-1$ puis un $\ell < k+1$ alors $d_{k+1}d_{r-l}$ sera plus grand que $n$ donc le diviseur correspondant à $d_{k+1}$ ne pourra pas être l'un des $k$ derniers diviseur.

PhilT1

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

En fait, au départ, j'avais l'idée de finaliser la démonstration en limitant le premier indice à [tex]\frac{r+1}{2}[/tex] ([tex]\frac{r}{2}[/tex] si [tex]n[/tex] est un carré parfait), mais comme je bloquais sur la récurrence forte (je bloque toujours d'ailleurs, c'est-à-dire que je veux établir que la propriété est vraie pour tous les indices inférieurs à [tex]k[/tex], avec [tex]k \leq \frac{r+1}{2}[/tex]), après je finalisais en mentionnant une 'symétrie indicielle' dans les facteurs des produits. Donc mes produits ne devaient pas être supérieurs à n....

Reste à montrer l'hérédité de cette récurrence forte....

Michel Coste

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

Bonjour,
Il n'y a pas besoin de récurrence : on liste les diviseurs dans l'ordre croissant $1=d_0 < d_1 < \ldots< d_r=n$. Les inverses multipliés par $n$ forment la liste des diviseurs dans l'ordre décroissant : $n=n/d_0 > n/d_1 >\ldots >n/d_r=1$. On a donc $n/d_k=d_{r-k}$.

Ernst

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

Bonsoir,

Marrant de voir combien les maths ont pris l'habitude de compliquer les choses avec des notations de plus en plus ésotériques. Je ne comprends rien aux réponses, ce n'est quand même pas bon signe.

Pour moi, si on divise un nombre par un, on obtient le nombre lui-même. Deux diviseurs donc, le premier qui donne le deuxième, le deuxième qui donne le premier

Si on trouve un autre diviseur que ces deux-là assez proche du premier, il est évident que le résultat sera un autre diviseur assez proche du second - et vice-versa. C'est la logique même de la division. Je ne savais même pas qu'"il fallait "prouver" ce genre de chose, d'autant que j'ai l'impression que la "preuve" ici n'est qu'un simple effet de notation.

Qu'on s'arrête à la racine carrée du nombre ou qu'on aille jusqu'au nombre lui-même, ça marche toujours.

(euh, si je dis sur une copie que c'est trivial, j'ai les points, ou pas trop ?)

PhilT1

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

Bonjour à tous

je pense que la démonstration de Michel est probante et permet de répondre valablement à la question.

Encore merci pour vos aides

DeGeer

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

@Ernst : Les maths parlent d'objets mathématiques, qui n'ont pas d'autre existence que mathématique. Le formalisme mathématique est le seul moyen de parler de tels objets. Effectivement, il est parfois lourd mais il est nécessaire pour éviter d'en référer à une prétendue intuition qui n'a aucune raison d'être partagée par tous. Concernant la question de ce fil, il est vrai que le principe de récurrence se cache souvent derrière beaucoup d'énoncés intuitifs, et on admet souvent des démonstrations qui omettent la récurrence dès lors que cette récurrence est facile mais pénible à écrire.

PhilT1

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

>> DeGeer :

je viens de lire ta réponse. Je partage ton argumentation sur le formalisme et la cohérence qui en résulte pour étayer valablement une démonstration.

Si tu as le temps, ça m'intéresserait de lire comment une récurrence forte peut démontrer la propriété objet de ce 'fil'.

Encore merci pour vos interventions

yoshi

Modo Ferox

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

RE,

J'ai toujours dit à mes élèves qu'un bon mathématicien était un "paresseux", mais un "paresseux intelligent" en ce sens qu'il ne cherche pas, mais alors vraiment pas, à se se compliquer la tâche et à la compliquer aux autres, ni à en remplir des pages là où 10 lignes suffiraient...
Et pourtant, ce n'est parfois (souvent ?) pas l'impression qu'il donne...
Il y a bien longtemps (> 40 ans), j'avais eu une longue discussion sur ce thème avec un mien collègue - au demeurant professeur de Français - qui, lui, reprochait aux Maths et aux matheux d'être trop "secs"... Amusant, non ?

En ce qui concerne ce fil, maintenant que les esprits en connaissances supérieures aux miennes se sont exprimés, et que j'ai pu dégager du temps pour écrire, je ne résiste pas au plaisir de donner ma vision de la chose...

Soit $n$ un nombre entier, si n est premier alors $\mathcal{D}(n)=\{1,n\}$ et l'affirmation est vérifiée.
Si n n'est pas premier, 1 et n sont les deux diviseurs extrêmes. Soit d l'un des diviseurs de n, tel que $1<d\leqslant \sqrt n$
Puisque d est l'un de ces diviseurs, alors il existe un entier $q$ tel que $n=d\times q$, $q$ est le quotient entier exact de la division de $n$ par $d$ et donc, si j'écris (coucou Borassus !) $n = q\times d$, j'écris $d$ comme étant le quotient entier exact de la division de $n$ par $q$.
$d$ et $q$ sont donc deux diviseurs de $n$.
En outre, $si$ n est un carré, alors $\sqrt n$ est aussi un diviseur de $n$ et le nombre de diviseurs est impair ; si n n'est pas un carré alors le nombre de diviseurs est pair...

Puisque j'ai pris $1<d\leqslant \sqrt n$, alors $\sqrt n\leqslant q<n$...
[...Je pourrais montrer (vous ne m'en voudrez pas de ne pas le faire ici, j'alourdirais mon propos) ce que l'on a seriné un temps aux élèves
en Collège, un temps où la notion de nombre premier, de décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers, débouchant sur les calculs de PPCM et PGCD puis la résolution de problèmes faisant appel à ces notions): à savoir que
1. Lors de la recherche si un nombre $n$ est premier ou pas en effectuant les divisions de $n$ par les nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$,
   si,arrivé au stade des calculs où $d\geqslant \sqrt n$, on n'avait pas trouvé de diviseur, on n'en trouverait pas plus après... Diviseurs et quotients échan-
   geant leur ordre, si la division devait s'effectuer à partir du moment où le quotient devenait supérieur au diviseur, ou encore que $d\geqslant \sqrt n$,
   la division se serait effectuée pour $d \leqslant n$...
2. Si $n=dq$ avec $1<d\leqslant \sqrt n$ alors $\sqrt n\leqslant q<n$
3. Si $n=dq=d_1q_1$ avec $1<d<d_1\leqslant \sqrt n$ alors $\sqrt n \leqslant q1\leqslant q< n$

Hélas, ça ne vaut pas pour la lisibilité et la concision, les écrits de Michel Coste ou de DeGeer... Que voulez-vous, mis à part l'emploi de Latex, je me suis efforcé de ne pas utiliser de symboles ésotériques. serais-je en train de tomber du côté obscur de la Force avec de la littérature (alors que, Lycéen, c'était loin, très loin d'être le cas) ?...

Au Collège, pour la recherche des diviseurs on procédait comme ceci : sur 2 lignes pour la recherche des diviseurs d'un nombre sans la décomposition qui rejoint la question initiale. Exemple avec 96.
A chaque écriture d'un diviseur de la première ligne, on écrivait en dessous le quotient entier exact de $n$ par ce diviseur et une fois arrivé au terme des calculs, on relevait les résultats de la première ligne de gauche à droite, puis on enchaînait avec ceux de la 2e ligne lus de droite à gauche.
Les diviseurs de la première ligne s'obtenaient soit par tâtonnement, soit grâce aux critères de divisibilité : les élèves s'apercevaient tout de suite  que le diviseur suivant 8 sur la première ligne, il y avait 12 et qu'il était inutile de l'y écrire puisque figurant déjà en dessous du 8 :
1     2    3    4     6     8
96   48   32  24   16   12
puis on écrivait : $\mathcal{D}(96)=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96\}$

Deuxième méthode avec la décomposition $96 = 2^5 \times 3$ :

 1  _  2 _  4 _ 8 _ 16 _ 32    
 |     |    |   |    |    |
 3  _  6 _ 12 _ 24 _48_  96

Méthode qui était intéressante mais avec  au delà de 3 facteurs différents, c'était inutilisable... Exemple limite avec $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ :

@+

Ernst

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

@Ernst : Les maths parlent d'objets mathématiques, qui n'ont pas d'autre existence que mathématique. Le formalisme mathématique est le seul moyen de parler de tels objets.

Bonsoir DeGeer, bonsoir tout le monde,

Je n’ai rien contre le formalisme quand il est nécessaire, pour la liste des diviseurs j’ai même failli proposer
$\forall n \in \mathbb{N}^*, D(n) = \{ d \in \mathbb{N}^* \mid n \mod d = 0 \}$

Sauf que je maintiens que tel qu’il est posé, le problème me paraît trivial.

Qu’on me permette de l’exprimer dans ce bon vieux français des familles : avec n’importe quelle liste de diviseurs de $n\in \mathbb{R} ^{\ast }$ arbitrairement choisis dans $\mathbb{R} ^{\ast }$, pas besoin d’entiers, pas besoin de facteurs premiers, prendre deux diviseurs à égale distance des extrémités pour retomber sur $n$, cela marche toujours. Donc s’il faut démontrer quelque chose, autant carrément le faire avec la généralisation, non ?

Je tiens à préciser que mes interrogations sur ce coup sont réelles, pas juste une posture pour faire l’intéressant.

Ernst

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

Arghhh, j'ai oublié le + dans mes ensembles, ils doivent être strictements positifs sinon le signe met le Bronx, correctif :

« $\forall n \in \mathbb{N}^{*+}, D(n) = \{ d \in \mathbb{N}^{*+} \mid n \mod d = 0 \}$ »

et

« liste de diviseurs de $n\in \mathbb{R} ^{*+}$ arbitrairement choisis dans $\mathbb{R} ^{*+}$ »

(j'espère que j'aurais quand même les points de présentation :-))

Ernst

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

Bonjour,

Finalement j’aime bien, à force de penser à un truc on découvre toujours d’autres choses.

Pour ce qui est de la formulation initiale, oui, faut rester dans l’ensemble des entiers strictement positifs puisqu’on parle des diviseurs d’un nombre, et qu’il s’agit dans ce cas de nombres entiers positifs.

Pour l’extension, en fait il n’y plus besoin de rester dans le positif. J’avais dit que le signe mettait le chantier, eh bien même pas : je prends n’importe quel réel différent de zéro, je le divise par n’importe quel réel lui aussi différent de zéro, j’obtiens un résultat réel différent de zéro. Et si je prends plusieurs diviseurs j’obtiens plusieurs résultats, et si je mets tout ce beau monde dans une liste ordonnée eh bien j’observerai toujours la même répartition, à savoir les mêmes écarts aux extrémités de la liste pour les couples de diviseurs/résultats (et en plus le résultat est aussi un diviseur et le diviseur un résultat, c’est fou)

Pour l’extension du problème toujours, j’ai envie d’aller encore plus loin, je me demande si une extension aux complexes a un sens, et si ça marche encore. Mais bon...

Dernière modification par Ernst (18-04-2025 09:35:06)

Michel Coste

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

@Ernst : bien beau de cracher sur le formalisme, mais que signifie ton discours
Pour l’extension, en fait il n’y plus besoin de rester dans le positif. J’avais dit que le signe mettait le chantier, eh bien même pas : je prends n’importe quel réel différent de zéro, je le divise par n’importe quel réel lui aussi différent de zéro, j’obtiens un résultat réel différent de zéro. Et si je prends plusieurs diviseurs j’obtiens plusieurs résultats, et si je mets tout ce beau monde dans une liste ordonnée eh bien j’observerai toujours la même répartition, à savoir les mêmes écarts aux extrémités de la liste pour les couples de diviseurs/résultats  ?
Il est bon de faire tout de même un peu attention dans ce qu'on raconte.
Prenons un exemple
$$\begin{array}{cccccccc} -6&-3&-2&-1&1&2&3&6\\ 6&3&2&1&-1&-2&-3&-6\end{array}$$
Les produits par colonne ne sont évidemment pas constants. Si on s'abstient de faire le malin, ça marche
$$\begin{array}{cccc} 1&2&3&6\\ 6&3&2&1\end{array}$$

Dernière modification par Michel Coste (18-04-2025 14:36:14)

Ernst

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Re : Diviseurs d'un nombre entier naturel

Bonjour,

Effectivement, avec les négatifs ça ne marche pas, honte à moi.

bien beau de cracher sur le formalisme

et plus loin

Si on s'abstient de faire le malin

Là c'est autre chose. À partir du moment où mes interventions sont perçues comme du dénigrement ou de la suffisance, c'est clair qu'elles sont déplacées. Cela ne se reproduira plus.