Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

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on ne peut pas y couper

Bonjour,

Une question volontairement elliptique afin de titiller votre curiosité:
Dans quel sens peut-on affirmer qu'injectivité et surjectivité sont des notions  indissociablement liée à celle d'application ?

Bon courage

Zebulor

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Re : on ne peut pas y couper

Bonjour Bridgslam,

est ce que ça ne serait pas lié aux cardinaux des ensembles de départ et d'arrivée de l'application ?

bridgslam

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Re : on ne peut pas y couper

Bonjour Zebulor,

Non cela n'est pas lié en tant que tel aux cardinaux.
Pour voir le rapport étroit, il faut se baser simplement sur les définitions, quitte à remonter vraiment aux sources ensemblistes.

▼indices

Classiquement, l'injectivité et la surjectivité concernent les applications.
Donc selon la forme de la question, on se doute que pour mettre ces notions en rapport avec les applications (et pourquoi pas les caractériser?),
il faut bien dépasser le cadre strict des applications.
Donc...

▼une analogie

Je me risque à un parallèle (qui vaut ce qu'il vaut...).
On a des propriétés par rapport à une catégorie d'objets ( les applications) qui restreignent donc cette catégorie lorsque ces propriétés sont vérifiées.
Imaginons que l'on définissent les voitures sportives comme celles dont la vitesse max soit d'au moins 5 fois celles des voitures les plus lentes.
Ne pourrait-on pas définir les voitures comme les véhicules à roues dont la vitesse max soit d'au moins 5 fois celles des véhicules à roues les plus lents?
On a finalement utilisé la même propriété, mais par rapport à une autre référence.
C'est plus ou moins l'idée...

▼réponse

En notant $R$ un graphe dans $ E \times F$, on peut vérifier que $R$ est une application ssi $R^{-1}$ est surjectif et injectif.

Bonne soirée

Dernière modification par bridgslam (16-03-2025 19:57:11)

Michel Coste

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Re : on ne peut pas y couper

Bonjour,
Une application $f:A\to B$ est injective (resp. surjective) si et seulement s'il existe une application $g : B\to A$ telle que $g\circ f=\mathrm{Id}_A$ (resp. $f\circ g= \mathrm{Id}_B$).
Une application $f:A\to B$ est surjective (resp. injective) si et seulement quels que soient $g,h : B\to C$ (resp. $g,h : C\to A$), $g\circ f=h\circ f \implies g=h$ (resp. $f\circ g=f\circ h \implies g=h$).

Dernière modification par Michel Coste (18-03-2025 11:29:41)

Bernard-maths

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Re : on ne peut pas y couper

Bonjour à tous !

Je pense à des notions "polyvalentes" ... superviseur, inspecteur, introspecteur ... ???

Pour faire avancer le smilblick !

Bernard-maths

bridgslam

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Re : on ne peut pas y couper

Bonjour,

@Michel : certes, mais ce sont les notions d'injectivité/surjectivité caractérisant les applications, si elles vérifient ces propriétés. On est donc déjà sur la notion d'application, au préalable, au stade de tes propositions.

L'idée de ma question était de voir que sur des objets plus généraux que les applications, l'existence de ces propriétés ( en un sens si naturelles qu'on peut leur donner le même nom que pour les applications ), simultanément, caractérise les applications au niveau de leurs graphes.
Tout x de E possède (au moins) un antécédent par $R^{-1}$ : tout x de E possède (au moins) une image par R.
Tout x de E ne possède pas plus d'un antécédent par $R^{-1}$ : tout x de E possède au plus une image par R.

On n'est pas obligé de voir cela comme le chat qui se mord la queue, en tout cas pas pour moi.
Il s'agit plutôt d'une symétrie de langage dont l'ironie réside dans le partage avec des définitions ultérieures ( sur les applications  ).

L'intervention du graphe réciproque dans la définition d'application a sans doute sa part dans le fonctionnement harmonieux des images réciproques en regard des images directes. pour les applications non bijectives en tous cas.

Michel Coste

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Re : on ne peut pas y couper

La première caractérisation que j'ai donnée d'injectivité n'est pas correcte, sauf si on suppose $A\neq \emptyset$.
La question originale "Dans quel sens peut-on affirmer qu'injectivité et surjectivité sont des notions  indissociablement liée à celle d'application ?" me semble particulièrement peu claire.
Je l'ai comprise comme appelant une caractérisation parlant uniquement d'applications, pas d'éléments d'un ensemble - autrement dit, une caractérisation catégorique.

bridgslam

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Re : on ne peut pas y couper

Bonsoir,

@Michel
Oui, mais j'ai dit au départ que c'était assez elliptique, ellipticité qui m'a semblé nécessaire sauf à donner trop d'indice (ou directement la réponse).

L'image (ou l'analogie si tu préfères ) d'une propriété posée sur une catégorie donnée ( les voitures - applications ) pour définir les sportives, puis la même ou presque posée sur une sur-catégorie  (les véhicules à roues - graphes ) pour définir les voitures visait à orienter les réponses dans le bon sens.

C'est sûr que vues tes compétences, si tu n'as pas compris la question, c'est qu'elle n'était pas claire pour toi.
Il fallait juste penser à se placer dans la catégorie des graphes, pas des fonctions, donc élargir un peu  le cadre.

Un graphe R de ExF est une application <=> son graphe réciproque est surjectif et injectif.

En résumé, la difficulté était de bien situer la question ( et pour moi de la poser sans trop en dire).
Désolé en tous cas si je t'ai fait perdre ton temps.

PS: désormais je fais un gros crochet lorsque je croise une vache normande !