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Paris65

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Polynômes à plusieurs indéterminées.

Bonjour,

Soit [tex]P \in \mathbb{C} [X,Y,Z] = \mathbb{C} [Y,Z] [X][/tex] un polynôme à trois indéterminées [tex]X,Y[/tex] et [tex]Z[/tex].
Supposons qu'il existe  [tex]Q = Q(Y,Z) \in \mathbb{C} [Y,Z][/tex], tel que, [tex]P ( Q(Y,Z) , Y , Z ) = 0[/tex].
Est ce que, [tex]X - Q(Y,Z)[/tex] divise [tex]P[/tex] ?
Inversement, si [tex]X - Q(Y,Z)[/tex] divise [tex]P[/tex], est ce que, [tex]P ( Q(Y,Z) , Y , Z ) = 0[/tex] ?

Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Polynômes à plusieurs indéterminées.

Bonjour,
Pour tout anneau commutatif $A$, tout $a\in A$ et tout $P\in A[X]$, $X-a$ divise $P$ dans $A[X]$ si et seulement si $P(a)=0$.
Tu peux appliquer cela à $A=\mathbb C[Y,Z]$ et $a=Q$.
L'équivalence résulte du fait que l'on peut toujours faire la division euclidienne par un polynôme unitaire (par exemple $X-a$) dans $A[X]$ et que l'on a
$$\forall P\in A[X]\ \forall a\in A\ \exists! S \in A[X]\ \ P= (X-a)S + P(a)\;.$$

Dernière modification par Michel Coste (11-03-2025 11:10:38)

Paris65

Invité

Re : Polynômes à plusieurs indéterminées.

Merci Michel.

Michel Coste

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Re : Polynômes à plusieurs indéterminées.

Avec plaisir.