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bibmgb

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Hessienne et conditions d'extremum

Bonjour,

Une matrice Hessienne est une matrice symétrique (quand [tex]f[/tex] est de classe [tex]C^2[/tex])  donc diagonalisable dans une base orthonormée.
Ainsi, son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres et sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres.
Une condition suffisante d'extremum local pour une fonction de deux variables réelles est alors d'avoir un gradient nul et une matrice hessienne de déterminant strictement positif. Par ailleurs pour connaître le signe des valeurs propres, on regarde la trace, si elle est positive (resp. négative), les valeurs propres sont strictement positives (resp.strictement négatives) et le point critique est un minimum local (resp. maximum local).

Or dans certains cours, si on note [tex]\begin{pmatrix}r & s\\ s & t\end{pmatrix}[/tex] la matrice Hessienne évaluée en un point critique, alors on ne regarde pas la trace pour déterminer le signe des valeurs propres mais uniquement le signe de r. Cela veut dire que r+t est du signe de r mais je ne sais plus pourquoi ?

Pourriez-vous me rappeler pourquoi le signe de r+t est celui de r ?

Merci beaucoup.

Michel Coste

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Re : Hessienne et conditions d'extremum

Bonjour,
Parce que si la forme quadratique est définie (ici, en dimension deux, ça revient à dire que le déterminant est $>0$), alors son signe (positif ou négatif) est le même que celui de sa restriction à la droite engendrée par le premier vecteur de base, c.-à-d. le signe de $r$.
Autre façon de voir : si $rt-s^2>0$ alors $rt>0$, donc $r$ et $t$ sont de même signe et ... je te laisse conclure.

bibmgb

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Re : Hessienne et conditions d'extremum

Bonjour,

Pour la première partie de la réponse (signe d'une forme quadratique), je n'ai pas les connaissances théoriques pour la comprendre.
Par contre pour la deuxième façon de voir, c'est très clair pour moi.

Merci.