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bibmgb

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Matrice Hessienne constante

Bonjour,

Soit [tex]f[/tex] une fonction définie sur [tex]\mathbb{R}^2[/tex] à valeurs dans [tex]\mathbb{R}[/tex]. On suppose que [tex]f[/tex] est de classe [tex]C^2[/tex] et que la matrice Hessienne de [tex]f[/tex] au point [tex](x,y)[/tex] ne dépend pas de [tex](x,y)[/tex], autrement dit que la matrice Hessienne de [tex]f[/tex] est constante.
Le fait que la matrice Hessienne soit constante, indépendante du point [tex](x,y)[/tex], donne-t-il des propriétés particulières à la fonction [tex]f[/tex] ?

Merci.

Fred

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Re : Matrice Hessienne constante

Bonjour,

  Oui, cela va donner des propriétés particulières à la fonction $f.$
Par exemple, tu peux commencer par rechercher toutes les fonctions $f$ (de classe $C^2$) telles que
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=a.$ Puis, parmi ces fonctions, déterminer celles qui vérifient également $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=b$ et $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=c.$

F.

bibmgb

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Re : Matrice Hessienne constante

Bonjour,
Si je me place dans le cas d'une fonction de la variable réelle avec [tex]f''(x)=a[/tex], j'obtiens par intégrations successives [tex]f(x)=a\dfrac{x^2}{2}+bx+c[/tex] soit un polynôme de degré 2 en la variable réelle [tex]x[/tex].

Je suppose que l'analogue en dimension supérieure est la notion de forme quadratique.

Si je suis votre proposition :

• [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=a[/tex] implique que [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=ax+g(y)[/tex] où g est une fonction de la variable réelle. Par suite [tex]f(x,y)=a\dfrac{x^2}{2}+g(y)x+\lambda[/tex].

• On a ensuite [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=xg'(y)[/tex] puis [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=xg''(y)[/tex] et  [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=g'(y)[/tex].

• Par ailleurs, en considérant [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=ax+g(y)[/tex], on obtient [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=g'(y)[/tex]. Ce qui est cohérent avec le théorème de Schwarz.

• J'en déduis que [tex]xg''(y)=b[/tex] et [tex]g'(y)=c[/tex]. Ce qui me pose problème c'est que [tex]g'(y)=c[/tex] implique [tex]g''(y)=0[/tex] implique [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=0[/tex]. Or on peut considérer des matrices Hessiennes constantes sans aucun coefficient nul. J'ai dû faire une erreur quelque part.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Matrice Hessienne constante

Bonjour,
Ton $\lambda$ dépend a priori de $y$. Reprends ton calcul en tenant compte de ça.

bibmgb

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Re : Matrice Hessienne constante

Bonjour,
Merci pour l'indication.

• [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=a[/tex] implique que [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=ax+g(y)[/tex] puis que [tex]f(x,y)=a\dfrac{x^2}{2}+g(y)x+ h(y)[/tex].

• On a ensuite [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=xg'(y)+h'(y)[/tex] puis [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=xg''(y)+h''(y)[/tex] et  [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=g'(y)[/tex].

• On en déduit que [tex]xg''(y)+h''(y)=b[/tex] et [tex]g'(y)=c[/tex]. Donc [tex]g''(y)=0[/tex] et [tex]h''(y)=b[/tex].

• Par intégrations successives, on trouve : [tex]f(x,y)=\dfrac{a}{2} x^2+\dfrac{b}{2} y^2+c xy + rx+py+q[/tex].
  r, p et q sont des constantes d'intégration. f serait une forme quadratique si r,p,q étaient nuls; sinon on peut dire que f est un polynôme de degré 2 en deux variables réelles.