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LubinB

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espace affine

Bonjour, voici mon énoncé :
[tex][/tex Déterminer si l’espace \( F \) est un sous-espace affine de \( \mathbb{R}^3 \), où 

\[
F + \left\{ M = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1 \right\}.
\]
]

L'équation présente une sphère et n'est donc pas un sous espace affine de R^3 mais comment le justifier proprement ?
En vous remerciant d'avance

DeGeer

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Re : espace affine

Bonjour
Cet ensemble n'est pas stable par translation, donc n'est pas un sous-espace affine.
En fait, ça demanderait quelques détails pour le montrer.

Dernière modification par DeGeer (31-01-2025 06:12:33)

LubinB

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Re : espace affine

Bonjour
Cet ensemble n'est pas stable par translation, donc n'est pas un sous-espace affine.

Bonjour, merci de votre réponse.
Cela signifie quoi niveau mathématique ? A = x +E est différents de (x+v) + E?

Michel Coste

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Re : espace affine

Bonjour,
Le $+$ après $F$ est une typo ?
Le "stable par translation" ne me paraît pas très clair. Translation de quoi ?
Je préfère de loin "stable par barycentres". Ce n'est pas le cas pour $F$ car le milieu de $(1,0,0)$ et $(-1,0,0)$, deux éléments de $F$, n'est pas dans $F$.

bridgslam

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Re : espace affine

Bonsoir,

Il est facile de trouver 3 vecteurs linéairement indépendants
( par différence 2 à 2 des coordonnées de 3 points de F) , qui appartiendraient donc à l'espace vectoriel directeur de F, qui serait ainsi  de dimension 3.
F serait donc l'espace affine entier , or O n' y appartient pas.
C'est une autre façon de faire.

A.

bridgslam

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Re : espace affine

Sauf erreur, dans l' espace euclidien la projection de O sur F serait un point unique H  ( correspondant à d(A,H) minimum).
Or ici tous les points de F ( une infinité) seraient donc les projetés de O.

Contradiction.
Peut-être une autre façon de voir, si je ne dis pas des c...
Mais j'ai une manie, sur une question donnée, l'envisager sous des angles différents.

Alain

bridgslam

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Re : espace affine

Bonjour,

On a aussi en suivant le point de vue de De Geer que le translaté du point de F (0,0,1) selon le vecteur (2,0,0) ( écart entre deux points de F particuliers) n'appartient pas à F.
Ce serait le cas si F était un ss-espace affine.

Bonne journée