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Borassus

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Indéterminations $0^0$ et $1^{+\infty}$

Bonjour,

J'explique que, outre les quatre indéterminations habituelles $\infty - \infty$  ,  $0 \times \infty$  ,  $\dfrac 0 0$  et  $\dfrac {\infty}{\infty}$ , il y aussi les indéterminations $0^0$ et $1^{\infty}$.

Pouvez-vous s'il vous plaît m'indiquer pour ces deux indéterminations des exemples de limites infinies, nulles ou finies non nulles ?

Merci des nouveaux horizons que vous ne manquerez pas de me faire découvrir.
Bon dimanche.

DeGeer

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Re : Indéterminations $0^0$ et $1^{+\infty}$

Bonjour
Ces deux formes indéterminées se ramènent à la forme indéterminée $0 \times \infty$ quand on réécrit l'expression sous la forme d'une exponentielle.

Borassus

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Re : Indéterminations $0^0$ et $1^{+\infty}$

Bonsoir DeGeer, bonsoir à tous,

Merci de ta réponse.

Si on considère que la fonction a pour structure $u^v$, je ne vois pas pour l'instant en quoi le fait de l'écrire sous la forme $e^{v \ln u}$ ramène à l'indétermination $0 \times \infty$.

Merci de m'éclairer.

Michel Coste

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Re : Indéterminations $0^0$ et $1^{+\infty}$

Bonsoir,
Quand $u$ tend vers $0$, $\ln(u)$ tend vers $-\infty$ ...

Borassus

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Re : Indéterminations $0^0$ et $1^{+\infty}$

Bonsoir Michel,

Je comprends mieux maintenant l'indication de DeGeer : c'est l'exposant de l'exponentielle qui est ramené dans les deux cas à une indétermination de type $0 \times \infty$, et non la fonction $u^v$, comme je l'avais interprété initialement.  (D'où ma question.)

Donc, on peut distinguer quatre cas :

1) si $v \ln u$ tend vers $0$, $u^v$ tend vers $1$ ;

2) si $v \ln u$ tend vers $+ \infty$, $u^v$ tend vers $\infty$ ;

3) si $v \ln u$ tend vers $- \infty$, $u^v$ tend vers $0$ ;

4) si $v \ln u$ tend vers une limite finie $l$ non nulle, $u^v$ tend vers $e^l$.

Je comprends maintenant pourquoi ces deux formes sont indéterminées : a priori, on ne peut pas savoir quelle est la limite : nulle, infinie ou finie différente de 0.

Merci DeGeer ! Merci Michel !
Vous m'avez effectivement ouvert de nouveaux horizons !
(Je prévois de les faire bientôt découvrir à certains élèves de Terminale lorsqu'ils auront vu la fonction $\ln$.  :-)

Dernière modification par Borassus (19-01-2025 23:58:43)

Borassus

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Re : Indéterminations $0^0$ et $1^{+\infty}$

Bonjour à tous !

Je m'amuse à générer à l'aide de GeoGebra des courbes $ u(x)^{\displaystyle v(x)}$ plus ou moins farfelues — et sans doute pas évidentes à analyser. Voici quelques exemples :

De jolies moustaches générées par $(\sin x) ^ {\displaystyle \: \sin x}$ :

$(\sin x)^{\displaystyle \: x²}$

$(\sin x)^ {\displaystyle \: \dfrac 1 x}$  (Les montées sont tellement rapides que GeoGebra bugue en les représentant.)

$(\cos x)^ {\displaystyle \: e^x}$

$(\sin x) ^ {\displaystyle \: x}$

Bonne journée de début de semaine.
Bien cordialement,
Borassus