Forum de mathématiques - Bibm@th.net

gabx

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Demande d'aide résolution limite

Bonjour, mon prof de maths expertes nous a donné cette limite dans un DM mais je ne vois aucun moyen de comment procéder. Quelqu'un aurait-il une idée svp? [tex]\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{\left(\sin\left(e^{2x+1}\right) - \sin\left(e^x\right)\right)^2}{e^{\exp(2x-1)} + e^{3x} - 1} \right)
[/tex]

verdurin

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Re : Demande d'aide résolution limite

Bonsoir,
on a [tex]\sin(u)\simeq u[/tex] et [tex]e^u\simeq 1+u[/tex] quand [tex]u[/tex] tend vers 0.

Zebulor

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Re : Demande d'aide résolution limite

Bonsoir,
ce que propose verdurin permet de se débarrasser des sinus au numérateur et d'avoir une somme d'exponentielles de fonctions affines au dénominateur,  qu'on peut par exemple factoriser par la suite ...

Dernière modification par Zebulor (16-01-2025 02:55:25)

Roro

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Re : Demande d'aide résolution limite

Bonjour,

C'est une limite un peu bizarre... construite juste pour faire compliqué ?

Comme c'est niveau terminale (maths expertes), on ne peut pas trop utiliser de développements limités (ou alors sans le dire).

Une façon de faire est de ré-écrire la fraction sous la forme suivante

$$\frac{\left(\sin\left(e^{2x+1}\right) - \sin\left(e^x\right)\right)^2}{e^{\exp(2x-1)} + e^{3x} - 1}
=\displaystyle \frac{\left(\frac{\displaystyle \sin(\mathrm e^{2x+1})}{\displaystyle \mathrm e^{2x+1}}\mathrm e^{x+1} - \frac{\displaystyle \sin(\mathrm e^{x})}{\displaystyle \mathrm e^{x}}\right)^2}{\mathrm e^{-1} \frac{\displaystyle \mathrm e^{\mathrm{exp}(2x-1)}-1}{\mathrm{exp}(2x-1)} + \mathrm e^x}$$

et comme l'ont souligné les autres posts, utiliser les limites connues (voir la définition de dérivées et limites de taux d'accroissements) $\displaystyle \lim_{u\to 0} \displaystyle \frac{\sin(u)}{u}=\lim_{u\to 0}\displaystyle \frac{\mathrm e^u-1}{u}=1$.

Roro.

Dernière modification par Roro (16-01-2025 08:21:03)

gabx

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Re : Demande d'aide résolution limite

Ok je vais essayer merci beaucoup