Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

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La tour

Bonjour,

Une tour se déplace sur un échiquier carré n x n (n pair) , ses mouvements sont soit horizontaux, soit verticaux.
Elle débute son mouvement depuis une des quatre cases voisines du centre du plateau ( en fait une case centrale en termes échiquéens ) et parcourt toutes les cases une seule fois en revenant à son point de départ.
En notant son trajet comme le circuit passant par les centres des cases, quelle est l'aire de la surface intérieure à son circuit (on prenant pour aire unité celle d'une case) ?
Un trajet est dit "équilibré si le nombre de mouvements élémentaires verticaux est égal au nombre de mouvements élémentaires horizontaux.
Discuter selon la valeur de n de cette possibilité.

A.

Dernière modification par bridgslam (28-12-2024 15:55:07)

Bernard-maths

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Re : La tour

Bonjoir à tous !

Si je comprend bien l'énoncé, voici un parcours équilibré pour n = 5, 2n = 10 :

30 en horizontal, 30 en vertical, 49 en aire.

Je n'ai pas encore voulu discuter ...

Bernard-maths

bridgslam

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Re : La tour

Bonsoir,

La question posée concerne , comme pour un échiquier, un côté pair, (2,4,6,8,...).

Bonne soirée
A.

Dernière modification par bridgslam (28-12-2024 17:48:03)

Roro

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Re : La tour

Bonsoir,

J'ai un peu la flemme de chercher mais...

▼Texte caché

Si on m'autorise à utiliser l'élégant théorème de Pick (https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Pick), je dirai que l'aire vaut
$$\mathcal A=\frac{n²}{2}-1.$$

et cela doit encore être vrai si on se déplace n'importe comment (en ligne droite mais pas forcément horizontalement ou verticalement) en passant par tous les points, du moment que la trajectoire ne se recoupe pas...

Roro.

Dernière modification par Roro (28-12-2024 21:51:36)

bridgslam

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Re : La tour

Bonsoir,

▼@Roro

Bonne réponse de Roro. Bravo!
Il y a d'autres voies possibles, jouant sur l'occupation du terrain selon la concavité et la convexité qui se compensent.
Ainsi pour ma part  j'avais effectué  de façon très simple le calcul de l'aire extérieure au circuit ,  aire que l'on retire de l'aire totale pour obtenir l'aire intérieure.
Je ne connaissais pas le th. de Pick.
Et pour l'autre question?

Après quelques autres réponses éventuelles sur le sujet, je préciserai davantage.

Bonne recherches

Alain

bridgslam

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Re : La tour

Bonsoir,

Vues les fêtes je doute finalement de m'y remettre avec application les prochains jours, et donc voici une ébauche rapide de possibilité de calcul:

▼calcul à la "ouioui"

Imaginons une petite voiture parcourant tout le circuit en sens horaire, c-à-d en laissant toujours l'extérieur sur sa gauche.
Un déplacement qui passe d'une case à l'autre, laisse à l'extérieur, sur sa gauche , deux quarts de case, donc une demi-case.
Tout l'extérieur est ainsi couvert par ce décompte (*), sauf à chaque coin du plateau,
à raison d'un quart de case pour chacun, soit une case au total.
Comptant $ n^2$ mouvements, l'aire extérieure est donc globalement de $n^2/2 +1$
On en déduit l'aire intérieure $ A_{int} = n^2/2 - 1$.

(*) Sur le trajet, sauf au passage des 4 coins, un déficit d'1/4 de case à un changement de direction saillant est compensé  par un excès d'1/4 de case ( compté 2 fois) lors d'un changement de direction rentrant.
En dehors des 4 coins de l'échiquier, tout se passe en terme d'aires comme si le trajet coupait l'ensemble des cases en ligne droite, si on veut.

A.

Dernière modification par bridgslam (29-12-2024 09:02:29)

bridgslam

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Re : La tour

Bonjour,

La question des trajets équilibrés:

▼le résultat et une approche possible

Il n'y en a pas pour un vrai échiquier (n=8).
En fait avec un peu d'arithmétique, on peut montrer plus
généralement qu'il existe un tel trajet ssi n ( supposé pair) est congru à 2 modulo 4.
C'est pourquoi Bernard a pu le faire pour n=10.
Pour un plateau quelconque de côté n  pair, il est facile de créer un trajet admissible avec 2(n-1) verticaux (ou horizontaux), il s’agit alors d’un trajet  le plus déséquilibré possible.
Mais le nombre de chemins dans une direction donnée varie par paquets de 4.
Dès lors, pour qu’il puisse exister un trajet « équilibré » , il faut qu’il puisse exister un
entier k tel que $2(n-1) + 4k = n^2/2 $.
Un peu d’arithmétique montre que n (pair)  doit  être un multiple de 4 augmenté de 2 (condition nécessaire ).
Par contraposé, on en déduit que lorsque le coté du plateau (pair bien-sûr) est multiple de 4, un tel trajet est impossible. C’est le cas pour n=4 ,  n= 8 ( échiquier ) ,  mais aussi n=12 , n=16 …

Remarque:
Pour les aires, on s'en sort aussi en groupant par deux les points, chaque groupe de deux points supplémentaires permettant d'incrémenter de 1 l'aire intérieure...
Ainsi $(n^2 -2)/2$ fait retomber sur nos pieds...

J'avais imaginé cette énigme pour faire le pendant au classique problème du cavalier d'Euler, nettement plus "runique" dans son rendu...

A.

Dernière modification par bridgslam (02-01-2025 11:17:37)