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zayd

Invité

Equation plutot simple a premiere vue

Bonjour (non, ce n'est pas une option)

Étant en première année d'études supérieures, je suis tombé sur une équation assez surprenante dont je n'ai pas réussi à déterminer la solution d'un point de vue algébrique. Si quelqu'un avait le courage de m'aider, je lui en serais très reconnaissant.

Merci d'avance !

3^?=?^9

Dernière modification par Fred (21-12-2024 21:34:08)

Zebulor

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Re : Equation plutot simple a premiere vue

Bonsoir,
la solution ou ...les solutions...
9 est une puissance de 3 et on peut par exemple remarquer que $3^{3^3}=3^{3.3^2}=(3^3)^{3^2}$, d'où l'existence d'au moins une solution par tâtonnement ...

Dernière modification par Zebulor (22-12-2024 08:57:08)

bridgslam

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Re : Equation plutot simple a premiere vue

Bonsoir,

Il y a aussi 1.1508... si x n'est pas supposé entier.

A.

Zebulor

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Re : Equation plutot simple a premiere vue

Hello,
cela revient à résoudre : $\dfrac {ln(x)}{x} = \dfrac {ln(3)}{9}$ dont on peut montrer qu'elle présente deux solutions réelles

Dernière modification par Zebulor (23-12-2024 07:55:39)

JJ

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Re : Equation plutot simple a premiere vue

Bonjour,
Peut-être êtes-vous intéressé par la solution analytique dans le cas général $$ a^x=x^b $$
$$a^{x/b}=x\quad\implies\quad x\:a^{-x/b}=1 \quad\implies\quad x\:e^{\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)}=1 $$
$$\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)e^{\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)}=-\frac{\ln(a)}{b}$$
En posant : $X=\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)$ et $Y=-\frac{\ln(a)}{b}$
On arrive à l'équation de Lambert : $\quad X^X=Y$
La résolution de cette équation implique une fonction spéciale : La fonction W de lambert : https://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html $\quad X=W(Y)$.
$$\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)=W\left(-\frac{\ln(a)}{b}\right)$$
D'où la solution analytique de l'équation $ a^x=x^b $ :
$$\boxed{x=-\frac{b}{\ln(a)}W\left(-\frac{\ln(a)}{b}\right)}$$
Dans le cas $a=3$ et $b=9$ on obtient $\quad x=-\frac{9}{\ln(3)}W\left(-\frac{\ln(3)}{9}\right)$
En fait, la fonction W de Lambert est multivalued. Dans le cas présent de valeurs numériques elle prend deux valeurs réelles qui sont notées $W_0$ et $W_{-1}$
$W_0\left(-\frac{\ln(3)}{9}\right)\simeq -0.140478921198\quad $ et $\quad W_{-1}\left(-\frac{\ln(3)}{9}\right)=-3\ln(3)\quad $(calcul numérique de WolframAlpha).
Il en résulte les deux solutions réelles $x\simeq 1.15082482130\quad$ et $\quad x=27$.