Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 20-12-2024 07:27:37
- Konogan
- Membre
- Inscription : 20-12-2024
- Messages : 2
Continuité d'une fonction réciproque
Bonjour à tous,
Je cherche la démonstration de la propriété selon laquelle, dans un espace topologique, la fonction réciproque d'une fonction continue et bijective est continue. La démonstration est classique pour des fonctions de R dans R ; je suppose sans l'avoir fait que c'est généralisable sans trop de diffcultés à un espace de dimension finie, mais dans le cas général, comment faire ? Comment montrer que l'image d'un ouvert par f est un ouvert (puisque c'est la clef de la démonstration) ? Il semblerait que l'injectivité couplée à la continuité impose ce résultat, mais je sèche. Merci de votre aide !
Hors ligne
#2 20-12-2024 07:53:35
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité d'une fonction réciproque
Bonjour,
Ce n'est pas le cas dans le cas le plus général, vous ne pourrez donc pas le démontrer.
La réciproque d'une application bijective continue n'est pas toujours continue.
Mais:
Toute application continue d'un espace compact dans un espace séparé est fermée. En particulier, si elle est bijective alors c'est un homéomorphisme.
A.
Dernière modification par bridgslam (20-12-2024 08:20:36)
Hors ligne
#3 20-12-2024 11:31:52
- DeGeer
- Membre
- Inscription : 28-09-2023
- Messages : 222
Re : Continuité d'une fonction réciproque
Bonjour
Je crois que c'est un contre-exemple à ta propriété:
Soit $E$ un ensemble contenant au moins deux éléments. $(E,\mathcal{T})$ l'espace topologique $E$ muni de la topologie triviale $\mathcal{P}(E)$ et $(E, \mathcal{G})$ l'espace topologique $E$ muni de la topologie grossière $\{ \emptyset, E\}$, et $id$ l'application identité de $(E,\mathcal{T})$ dans $(E, \mathcal{G})$. Alors $id$ est clairement bijective, elle est continue car la topologie sur l'ensemble de départ est la topologie triviale donc l'image réciproque d'un ouvert est nécessairement un ouvert, mais sa réciproque est l'identité de $(E, \mathcal{G})$ sur $(E,\mathcal{T})$ donc elle n'est pas continue car elle n'est pas constante puisque $E$ contient deux éléments.
Hors ligne