Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

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Pourquoi ne pas expliquer la notion d'écart-type dès la 4ème ?

Chers amis, bonsoir (ou plutôt bonjour) !

Comme le forum a tendance à s'assoupir un peu, je propose de le redynamiser par la question posée dans le titre :

J'ai eu aujourd'hui mon cours du mercredi avec mon élève de 4ème. Sa classe vient de voir les notions de moyenne et de médiane.

Je lui ai expliqué en guise de préambule que la moyenne seule apporte une information relativement pauvre, que c'est le couple moyenne - écart-type qui est vraiment significatif, et que l'écart-type est une notion importante, car les médias nous inondent de moyennes, sans jamais indiquer, ni a fortiori expliquer, l'écart-type associé à la moyenne mise en exergue.

Je lui ai donc introduit successivement la moyenne des écarts entre les valeurs et la moyenne, moyenne peu intéressante du fait des compensations entre les écarts négatifs et positifs, la moyenne des carrés de ces écarts (c'est-à-dire la variance) pour, justement, éviter les phénomènes de compensation, et la racine carrée de celle-ci, pour revenir à l'unité de la série. (Il a un peu bloqué sur la variance, mais à un moment a bien compris sa nécessité et sa logique de calcul.)

J'ai aussi introduit en passant, et bien sûr en simplifiant, les principaux intervalles de la loi normale : 50 % de la population entre moyenne moins $\dfrac 2 3 \sigma$ et moyenne plus $\dfrac 2 3 \sigma$ (intervalle qui correspond schématiquement à l'intervalle interquartile...) ; 68 % entre moyenne moins un $\sigma$ et moyenne plus un $\sigma$ ; 95 % entre moyenne moins $2 \sigma$ et moyenne plus $2 \sigma$ ; 99,7 % entre moyenne moins $3 \sigma$ et moyenne plus $3 \sigma$.

J'ai insisté sur le fait que la notion d'écart-type devrait être enseignée dès le collège (et non en Première et en Terminale option maths) conjointement à celle de moyenne afin de former les futurs citoyens à mieux appréhender les moyennes dont les médias nous abreuvent, exemples tirés de la presse à l'appui.
(Je n'ai pas eu le temps de lui expliquer le notion d'intervalle de confiance pour faire mieux comprendre ce que signifient les sondages pré-électoraux : notre cours avait duré pas moins de deux heures et demie — comptées seulement une heure et demie —, l'élève était demandeur d'encore plus, mais je devais partir.)

Considérez-vous, vous aussi, qu'enseigner tôt la notion d'écart-type est un acte citoyen ?

Au plaisir de vous lire,
bien cordialement.

Dernière modification par Borassus (18-12-2024 23:37:06)

DrStone

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Re : Pourquoi ne pas expliquer la notion d'écart-type dès la 4ème ?

Bonsoir.

Je vais faire court (pour une fois) : il me semble qu’il est absurde de parler de probabilités et de statistiques en mathématiques dans le secondaire. Cela pour une raison assez simple : avant l’introduction de la théorie de la mesure ainsi que de l’intégrale de Lebesgue les élèves se retrouvent à ne faire que des bricolages en ne comprenant en réalité pas grand chose.

Il suffit de voir ce que donnent les cours au lycée s’en rendre compte : je mets quiconque au défi de trouver un élève lambda de terminale qui aurait réellement compris ce qu’est une loi normale, comment ça fonctionne et à quoi ça sert.
Ou encore le programme de probabilités des classes préparatoires qui ressemble à une vaste blague malheureusement bien trop sérieuse.

À mon sens, ce n’est pas pour rien qu’on n’avait jamais eu de probas-statistiques dans les programmes de prépas et uniquement très marginalement (dénombrement, séries statistiques, régression linéaire…) dans les classes du secondaire : toujours limitées à une application directe des concepts. Mathématiquement ce sont des concepts complexes reposant sur des notions qui ne sont pas à la portée du premier venu.

En revanche, dans un cours de non-mathématiques (donc tout autre cours même si probablement plus en éducation civique ou en sciences économiques et sociales [qui devraient aussi être enseignées dès le collège]: l’exemple des élections et de tout ce qui gravite autour est, il me semble en effet, le plus parlant et le plus adéquat pour les citoyens de demain… enfin si la démocratie survit à ce qui l’attend malheureusement dans les prochaines années/décennies…) ou on ne s’intéresse pas au côté mathématique des probas-stats mais simplement au côté pratique et à l’application des concepts donc, alors oui, je suis d’accord, ça devrait être enseigné assez tôt. Probablement dès la troisième avec un exercice dédié au brevet.

D’ailleurs faire ça dans un cours autre que le cours de mathématiques, ça pourrait permettre que ceux qui coulent en maths s’investissent plus. Même si au fond ce ne sont que des maths, le fait de faire ça en éducation civique ça pourrait désacraliser la difficulté liée au fait que "c’est des maths" (ce qui peut rebuter plus d’un élève).

Dernière modification par DrStone (19-12-2024 00:44:26)

Ernst

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Re : Pourquoi ne pas expliquer la notion d'écart-type dès la 4ème ?

Considérez-vous, vous aussi, qu'enseigner tôt la notion d'écart-type est un acte citoyen ?

Bonjour,

Détailler le concept même de moyenne est déjà largement suffisant je pense.

Un élève arrive en quatrième au deuxième trimestre et obtient 6 puis 10 à des épreuves « comptant pour la moyenne ». Il a donc 8 au bulletin, pas top. Heureusement, au troisième trimestre il a 14, note unique cette fois-ci. En fin d’année le professeur fait la moyenne des trimestres, d’abord 8, ensuite 14, il a une moyenne annuelle de 11/20, c'est correct.

Sauf que le professeur n’a pas pu corriger les copies du deuxième trimestre à temps et a reporté la dernière note du trimestre sur le suivant. L’élève à donc eu 6 au deuxième trimestre, puis une moyenne de 12 au troisième avec son 10 et son 14. Sa moyenne annuelle sera cette fois de 9/20, il pense son passage compromis, angoisse.

Heureusement, le délégué de classe demande que les moyennes soient celles de toutes les notes et non pas celles des trimestres, normal. Rapide calcul, l’élève à 10/20, et vu sa progression il a un bulletin encourageant.

Par contre, avec pourtant la même moyenne et exactement les mêmes notes, un de ses petits camarades vit très mal son bulletin catastrophique ! Dans un ordre différent il est vrai, vu qu’il a d’abord eu 14 puis 10 et enfin 6, ce qui fait que les professeurs l'ont averti sur ses chances de réussite.

À noter que sur ces bulletins, les notes de l’élève sont accompagnées de la moyenne de classe. Or il se trouve que dans cette classe, tous les élèves ont eu exactement la même moyenne, 10, sauf un seul élève qui a obtenu une nettement meilleure moyenne. Résultat ? À part cet élève, les uns après les autres sont tous en dessous de la moyenne de classe, ce qui est lamentable !

Bref, interroger déjà la moyenne sur cette exemple, c’est interroger les modalités de calcul de celle-ci, c’est interroger l’usage qui en est fait, c’est interroger le système lui-même. Est-ce citoyen d’inciter des élèves de quatrième de le faire ?

Hmmm ? On me dit à l’oreillette que pour éviter ce problème, on est passé aux compétences ? Ah d’accord...