Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

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Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonjour,

  Tout est dans le titre et dans l'image ci-dessous :

F.

cailloux

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonjour,

▼Texte caché

Sans tout dévoiler, on peut constater que lorsque $C$ décrit la médiatrice de $[AB]$, l'aire du rectangle coloré reste constante ($\text{18 }cm^2$)

Merci Fred : c'est amusant !

Dernière modification par cailloux (03-12-2024 17:04:24)

Bernard-maths

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonsoir !

▼Texte caché

Sur une figure on peut faire varier le diamètre (en bas). On trace le rectangle, et on constate que son aire vaut toujours 18 ...

Reste à le démontrer ...

Bernard-maths

Dernière modification par yoshi (03-12-2024 21:09:41)

NIN

Invité

Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonjour,

▼Texte caché

l'aire est égale à 18 cm².

bien à vous.

Dernière modification par yoshi (04-12-2024 10:05:46)

cailloux

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonjour,
Un petit complément :

▼Texte caché

Les points $A,H,E,C$ sont cocycliques (cercle de diamètre $[AC]$)
$\mathcal{A}=BF.BE=\overline{BC}.\overline{BE}=\overline{BH}.\overline{BA}=\dfrac{AB^2}{2}$

bridgslam

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonjour,

▼des pistes

On peut voir deux triangles semblables, ou directement par projection et projection réciproque entre l'hypothénuse et le diamètre du cercle vu de deux façons:
En notant L la longueur moitié de l'hypothénuse, on a toujours que l'aire vaut $2L^2$, soit pile l'aire de deux carrés quand C est confondu avec le pied de la médiatrice...

▼plus en détail

En notant p la projection orthogonale des longueurs sur le diamètre du cercle l'aire est $A = p(2L)q(L)$ avec $q(L)$ rayon du cercle ( et donc p(q(x) = x )
Donc par linéarité $A = 2p(L)q(L) = 2p( q(L) L) = 2p(q( LL) ) = 2 p o q (L^2) = 2L^2$
On a simplement  utilisé une section q , linéaire, de la projection surjective linéaire p.

Bonne journée

A.

Dernière modification par bridgslam (04-12-2024 13:42:51)

Bernard-maths

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonjour !

J'ai trouvé !

▼Texte caché

Je passe par une équation des deux cercles, en prenant pour origine O le milieu du diamètre variable ...

Je vous laisse chercher ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-12-2024 11:12:08)

cailloux

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonjour à tous,
Je n'ai jamais su résister aux "textes cachés".
Je constate que tous les intervenants ont fait à peu près le tour de la question initiée par Fred.
Une précision relative à mon dernier message (je ne cache plus; est-ce encore nécessaire ?)
Il fait appel à la notion de "puissance d'un point par rapport à un cercle" que je n'ai pas précisée mais que je suggérais fortement.
Histoire de relancer ce fil qui commence à s'essouffler :
Vu la simplicité du résultat, il était est certain qu'un découpage adroit façon puzzle permettait d'arriver au dit résultat.
A vos ciseaux !

Dernière modification par cailloux (04-12-2024 16:51:29)

bridgslam

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonsoir

Oui, et un  grand merci à Fred pour cette énigme.

Puissance, inversion géométrique, etc dans la géométrie du cercle me comptent parmi leurs émules.
La formulation en terme de nombres complexes est harmonieuse aussi sur ces sujets avec des écritures générales
englobant plusieurs figures qui semblent a priori bien différentes.

Bonne soirée
Alain

Bernard-maths

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonsoir à tous !

Je vous envoie ma réponse ...

▼Texte caché

Quelle que soit la position de B, l'aire du rectangle AFED = aire du carré AFCO + ou - aire du rectangle ODEC.

Si x est l'abscisse de B et r le rayon du cercle de centre O, alors aire = r² - rx.

Les 2 cercles ont pour équations x² + y² = r² et (r-x)² + y² = 6², soit r² -2rx + x² +y² = 36. D'où : r² - 2rx + r² = 36,

donc 2(r² - rx) = 36, et alors aire = 18 !

J'attends la solution de cailloux, avec des ciseaux !

Bernard-maths

jpp

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Salut ;

▼une réponse

AB est le diamètre du cercle et CB , la corde de longueur c=6

Cette corde se projette en HB sur le diamètre AB .  Les deux triangles rectangles ABC & HCB sont semblables . Ainsi c=6 est la moyenne
géométrique de AB & HB . Donc :
[tex]c^2 = AB \times{HB}= 2r\times{HB}=36[/tex]

Et l'aire du rectangle vaut : [tex]r\times{HB}=\cfrac{c^2}{2}[/tex]

cailloux

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Re : Quelle est l'aire de ce rectangle ?

Bonjour à tous,
Ce fil a inspiré "ailleurs" quelqu'un aujourd'hui même. A cette occasion, il y a eu "déterrage" où un découpage meilleur que le mien est réapparu :

▼Texte caché

Bien sûr, il nécessite de montrer que $FJ=\dfrac{1}{2}AB$ (très facile).

Il y a de nombreux découpages possibles !

Dernière modification par cailloux (05-12-2024 16:19:04)