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Meriem11

Invité

limite à gauche et a droite

Bonjouuur, svp , on sait le téoréme qui dit si f admmet une limite à gauche l de a et la meme limite à droite l de a , alors cette fonction admet comme limite en a cette limite commune , ma question c'est : Est ce que ce théoérme reste valable dans tous les cas :pour f défini en a ,et  pour f non défini en a ?

DeGeer

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Re : limite à gauche et a droite

Bonjour
Une fonction n'a pas besoin d'être définie en $a$ pour admettre des limites à droite et à gauche en $a$.
Par contre, si la fonction est définie en $a$, alors l'existence de limites égales à gauche et à droite implique que cette limite commune est la limite épointée en $a$, c'est-à-dire $\forall \varepsilon >0 \exists \eta>0 \forall x (|x-a|<\eta , x\neq a) =>|f(x)-\ell| < \varepsilon$
Cela peut ne pas correspondre à la définition de la limite si la fonction n'est pas continue en $a$.

Dernière modification par DeGeer (18-11-2024 08:13:11)

bridgslam

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Re : limite à gauche et a droite

Bonjour,

La limite (ou "les" en distinguant gauche/droite) en a est spécifique du comportement de f "à côté de" a, et n'a rien à voir de ce qui se passe en a.
f peut ne pas être définie en a, y être définie ... Si f est définie en a , f(a) peut être égale ou pas à une des limites à droite ou à gauche, tout est possible.
Au pire, on peut toujours rendre f continue à droite ou à gauche en a en lui donnant (ou modifiant ) la limite à gauche ou à droite en question pour f(a), et donc la rendre continue en a si ces limites gauche/droite coïncident.

Ainsi on peut toujours rendre un peu plus "lisse" une fonction monotone sur un intervalle, en lui affectant par exemple aux points de discontinuité la valeur de limite à gauche en ces points-là.

A.