Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mrini

Invité

exercice d arithmetique

bonsoir
priere m aider a avancer
1) Pour  [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]  montrer qu'il existe un couple unique  [tex](a_n, b_n) \in \mathbb{N}^2[/tex] tel que

[tex](1 + \sqrt{2})^n = a_n + b_n \sqrt{2}.[/tex]

2) Calculer [tex]a_n^2 - 2b_n^2[/tex] .

3) En déduire que [tex]a_n[/tex]  et [tex]b_n[/tex] sont premiers entre eux.

1)[tex](1 + \sqrt{2})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\sqrt{2})^k[/tex].
pour k pair [tex](\sqrt{2})^k.=2^{k/2}[/tex]  pour k impair [tex](\sqrt{2})^{k=2p+1}.=2^p\sqrt{2}[/tex] je dois donc separer les k pairs et les k impairs

[tex]a_n = \sum_{p=0 \\ \text{p pair}}^ \frac{n}{2}  \binom{n}{2p} 2^p[/tex]

[tex]0\leq2p+1\leq n\implies 0\leq p \leq (n-1)/2[/tex]
[tex]b_n = \sum_{p=0 \\ \text{p impair}}^{\frac{n-1}{2} } \binom{n}{2p+1} 2^p.[/tex]

je bloque dans 2)

DeGeer

Membre

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Re : exercice d arithmetique

Bonjour
Peut-être que tu peux partir de $a_n^2-2b_n^2=a_n^2-(b_n\sqrt{2})^2$, puis essayer d'exprimer $(1-\sqrt{2})^n$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.

Mrini

Invité

Re : exercice d arithmetique

bonjour
merci Degeer
c est exact en effet [tex]a_n^2 -2b_n^2=(a_n-\sqrt2 b_n)(a_n+\sqrt2 b_n)=(1-\sqrt 2)^n(1+\sqrt 2)^n=(-1)^n[/tex]

et on utilise Bezout pour mq [tex]a_n[/tex] et [tex]b_n[/tex] premiers entre eux
si n est pair on prend [tex]u=a_n [/tex] et [tex]v=-2b_n[/tex]
si n est impair on prend [tex]u=-a_n [/tex] et [tex]v=2b_n[/tex]

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Re : exercice d arithmetique

Bonsoir

[HS, je sais...)
Mais, pourtant, petite question : pourquoi ce changement de pseudo ?
[/HS]

     Yoshi
- Modérateur -

mrini1957

Membre

Inscription : 08-10-2019

Messages : 29

Re : exercice d arithmetique

Bonsoir

[HS, je sais...)
Mais, pourtant, petite question : pourquoi ce changement de pseudo ?
[/HS]

     Yoshi
- Modérateur -

bonsoir javais un compte depuis longtemps que je l ai pas utilisé j ai donc oublié que j en possedais un   à Bibmaths
j ai posté mon premier message  le 16/11/2024 en tant q invité ce n est q hier lorsque j ai voulu  creer un nouveau  compte  et bien  que je decouvre que j en avais deja un avant . c est une faute mais c est en dehors de mes capacitées donc me pardonner je pense ai serieusement demandé                cordialement Mrini