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tevuac

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intégrales généralisées [Résolu]

Bonjour
je bloque sur un exercice
justifier puis calculer l'intégrale de 0à~ de 1:((x²+1)racine de (x²+9))

[tex]\int_0^{+\infty}\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+9}}[/tex]

qui peut me donner une piste ,une règle ou un exercice du même genre résolu
merci d'avance

[Edit Fred]
J'ai ajouté la formule Latex pour que ce soit plus lisible

Dernière modification par Fred (09-10-2008 20:29:00)

Fred

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Re : intégrales généralisées [Résolu]

Bonsoir,

  Il y a en fait deux exercices en un...
D'abord, montrer la convergence de l'intégrale. Ce n'est pas trop dur, on intègre une fonction
continue positive sur [0,+oo[, et au voisinage de +oo, elle est équivalence à 1/x^3 qui est intégrable.

Pour calculer, alors là, il faut se retrousser les manches...
Comme je suis un peu paresseux, je vais consulter ce formulaire qui m'explique comment trouver une primitive. Clairement, je suis dans le deuxième cas des "intégrales abéliennes", et au vu de x^2+9, je suis tenté de poser x=3 sinh t.
Sauf erreur, le changement de variable me donne :

[tex]\int_0^{+\infty}\frac{1}{9 sinh^2 t+1}dt[/tex]

Un coup d'oeil à la même page... J'ai une fraction rationnelle avec des sinus hyperboliques. Il n'y a pas beaucoup plus malin que poser u=exp(t). Là, évidemment je n'ai plus le courage de continuer.
Mais selon cet outil, on finit par trouver qqch.

Fred.

tevuac

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Re : intégrales généralisées [Résolu]

merci, je vais regarder cela demain : cela devrait aller