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#1 10-10-2024 07:03:09
- Omhaf
- Membre
- Inscription : 16-01-2020
- Messages : 286
Racine entiére depuis triplets pythagoriciens
Bonjour à tous
Après certaines manipulations sur des triplets pythagoriciens je suis tombé sur ces résultats:
Appelons les 2 cotés de l'angle droit du triangle droit A et B et l'hypoténuse C
C²- 2(A x B) donne un nombre dont la racine est un entier
Exemple:
soit le triplet 9 , 40 et 41 (َ correction suite à la remarque de Rescassol)
41² - 2(9x40)= 1681 -720 = 961
√961= 31
Autre exemple avec 21 , 28 et 49
49²-2(21x28)=2401-1176= 1225
√1225= 35
Si cela s'avère vrai, pouvez-vous m'aider à démontrer ?
Merci d'avance
@+
Dernière modification par Omhaf (11-10-2024 12:02:14)
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#2 10-10-2024 08:37:57
- Rescassol
- Membre
- Lieu : 30610 Sauve
- Inscription : 19-09-2023
- Messages : 351
Re : Racine entiére depuis triplets pythagoriciens
Bonjour,
C'est incohérent: Si on lit le début de ton texte, on a un triangle rectangle, donc:
$A^2=B^2+C^2$ et $C^2-2(A\times B)=A^2+B^2-2(A\times B)=(A-B)^2$. C'est évident.
D'autre part, dans tes exemples, le triangle n'est pas rectangle puisque $9^2+40^2\neq 49^2$.
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (10-10-2024 08:38:16)
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#3 10-10-2024 09:52:26
- Ernst
- Membre
- Inscription : 30-01-2024
- Messages : 339
Re : Racine entiére depuis triplets pythagoriciens
Si cela s'avère vrai, pouvez-vous m'aider à démontrer ?
Merci d'avance
@+
Bonjour,
J'ai trouvé ça rigolo, j'ai programmé rapidement le truc, ça m'a l'air vrai :
------------------------------------
3 4 5 | Resultat: 1.000
5 12 13 | Resultat: 7.000
6 8 10 | Resultat: 2.000
7 24 25 | Resultat: 17.000
8 15 17 | Resultat: 7.000
9 12 15 | Resultat: 3.000
9 40 41 | Resultat: 31.000
10 24 26 | Resultat: 14.000
11 60 61 | Resultat: 49.000
12 16 20 | Resultat: 4.000
12 35 37 | Resultat: 23.000
13 84 85 | Resultat: 71.000
14 48 50 | Resultat: 34.000
15 20 25 | Resultat: 5.000
15 36 39 | Resultat: 21.000
16 30 34 | Resultat: 14.000
16 63 65 | Resultat: 47.000
18 24 30 | Resultat: 6.000
18 80 82 | Resultat: 62.000
20 21 29 | Resultat: 1.000
20 48 52 | Resultat: 28.000
21 28 35 | Resultat: 7.000
21 72 75 | Resultat: 51.000
24 32 40 | Resultat: 8.000
24 45 51 | Resultat: 21.000
24 70 74 | Resultat: 46.000
25 60 65 | Resultat: 35.000
27 36 45 | Resultat: 9.000
28 45 53 | Resultat: 17.000
28 96 100 | Resultat: 68.000
30 40 50 | Resultat: 10.000
30 72 78 | Resultat: 42.000
32 60 68 | Resultat: 28.000
33 44 55 | Resultat: 11.000
33 56 65 | Resultat: 23.000
35 84 91 | Resultat: 49.000
36 48 60 | Resultat: 12.000
36 77 85 | Resultat: 41.000
39 52 65 | Resultat: 13.000
39 80 89 | Resultat: 41.000
40 42 58 | Resultat: 2.000
40 75 85 | Resultat: 35.000
42 56 70 | Resultat: 14.000
45 60 75 | Resultat: 15.000
48 55 73 | Resultat: 7.000
48 64 80 | Resultat: 16.000
51 68 85 | Resultat: 17.000
54 72 90 | Resultat: 18.000
57 76 95 | Resultat: 19.000
60 63 87 | Resultat: 3.000
60 80 100 | Resultat: 20.000
65 72 97 | Resultat: 7.000
Nombre total de triplets trouves : 52
Je me dis que c'est donc vrai, reste à le démonter.
- par définition des triplets sus-dits, on a $C^{2}=A^{2}+B^{2}$
- ta formule c'est $C^{2}-2AB$
- si je remplace le $C^{2}$ par son équivalent je peux écrire ta formule sous la forme $A^{2}+B^{2}-2AB$
- or ça c'est une identité remarquable que j'ai apprise en troisième je crois
- $\left( A-B\right) ^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB$
- je peux donc écrire la racine carrée de ta formule sous cette forme et obtenir $\sqrt{\left( A-B\right) ^{2}}=\left| A-B\right|$
$A$ et $B$ étant des nombres entiers, la valeur absolue de $A-B$ sera un nombre entier. Et quand je regarde la liste de ce que j'ai obtenu, je trouve effectivement que c'est la différence entre les deux côtés de l'angle droit, tout simplement.
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#4 10-10-2024 10:22:28
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 862
Re : Racine entiére depuis triplets pythagoriciens
Bonjour à tous !
BON ! Rescassol a raison, ce ne sont pas (toujours) des triangles rectangles ..
Ernst a bricolé ... et trouvé des trucs drôles ...
Alors y'a un truc à trouver ???
ça semble marcher aussi avec des triangles non rectangles ...
Cordialement, B-m
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#5 10-10-2024 10:23:45
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 862
Re : Racine entiére depuis triplets pythagoriciens
Bonjour à tous !
BON ! Rescassol a raison, ce ne sont pas (toujours) des triangles rectangles ..
Ernst a bricolé ... et trouvé des trucs drôles ...
Alors y'a un truc à trouver ???
ça semble marcher aussi avec des triangles non rectangles ...
Cordialement, B-m
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#7 10-10-2024 18:49:41
- Ernst
- Membre
- Inscription : 30-01-2024
- Messages : 339
Re : Racine entiére depuis triplets pythagoriciens
Effectivement c'est tout simplement un détour pour retrouver la racine d'une identité remarquable
Bonsoir,
En fait je suis un peu comme toi, j’aime me promener parmi les nombres et les formules pour le simple plaisir de repérer des choses. Alors évidemment, pour ceux qui savent c’est dérisoire, mais pour ceux qui s’émerveillent, que cela soit d’une relation ou d’une formule, la satisfaction est entière.
Des fois, je me dis qu'il est plus intéressant de découvrir que de savoir. :-)
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#8 10-10-2024 20:13:26
- Omhaf
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- Inscription : 16-01-2020
- Messages : 286
Re : Racine entiére depuis triplets pythagoriciens
Bonsoir,
Oui Ernst c'est un plaisir indescriptible car comme je conçois les mathématiques, ce n'est pas seulement un monde bidimensionnelle comme pour la machine, mais un univers multidimensionnel ou le comment se confronte au pourquoi.
@+
Dernière modification par Omhaf (11-10-2024 23:27:51)
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