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stfj

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sous-groupe distingué

Bonjour,
Je suis sur un exercice "marrant", mais pas suffisamment tout de même pour le chercher seul.
J'ai trouvé l'élément neutre du groupe et l'inverse de [tex](x,y)[/tex] avec [tex]x\neq 0[/tex]; j'ai aussi démontré que H est distingué... mais j'espère avancer vite surtout avec vos suggestions
Ex : Soit [tex]G:=\{(x,y) \in \mathbb R^2 :x \neq 0\}[/tex] et la loi de composition définie par [tex](x,y)(x',y'):=(xx',xy'+y)[/tex].
(a) Montrer que [tex]G[/tex], muni de cette loi de composition, est un groupe.
(b) Soit [tex]H[/tex] la partie de [tex]G[/tex] formée des [tex](x,y)[/tex] tels que [tex]x>0[/tex]. Montrer que [tex]H[/tex] est un sous groupe distingué de [tex]G[/tex] et déterminer [tex]G/H[/tex].

merci d'avance

Dernière modification par stfj (24-07-2022 20:10:29)

stfj

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Re : sous-groupe distingué

re-bonjour
Voici un dessin dans le cadre de mes recherches de résolution de ce bel exo; j'espère qu'il pourra être utile à d'autres :

Par ailleurs, je m'interroge naïvement sur la commutativité, même si cela n'est pas demandé. Enfin, je m'interroge : cet exercice a-t-il un quelconque intérêt autre que d'illustrer la notion de groupe quotient (ici isomorphe à Z/2 si je ne m'abuse)?

Dernière modification par stfj (24-07-2022 19:59:05)

yoshi

Modo Ferox

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Re : sous-groupe distingué

Re,

Latex : facile, c'est \neq = not equal : $\neq$.  On npeut aussi l'obtenir en rusant : \not = --> $\not =$
\leq  = less or equal : $\leq$. Personnellement, je préfère \leqslant : $\leqslant$
\geq = greater or equal : $\geq$. Personnellement, je préfère \geqslant : $\geqslant$
\approx : $\approx$

Autre chose ?

Si tu lis le topo que j'ai écrit : Code Latex, tu devrais voir un lien vers Wikipedia où tu trouves tout ça et même des symboles dont j'ignore à quoi ils servent...

@+

stfj

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Re : sous-groupe distingué

merci @yoshi. j'essaie tout de suite. Trop la classe !!

Dernière modification par stfj (24-07-2022 20:08:36)

bridgslam

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Re : sous-groupe distingué

Bonjour,

Quel est le noyau du morphisme $(G,*) \rightarrow (\{-1,1\}, \times) \;\; (x,y)  \mapsto  sgn(x) $ ?

Sinon, se cache derrière la loi de groupe donnée un produit semi-direct sur $\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$:
ici on compose par simple multiplication les premières coordonnées, pour les secondes on ajoute à une coordonnée la même de l'autre couple transformée par un automorphisme (en l'occurence ici une fonction linéaire) fixée par l'autre coordonnée : au lieu d'ajouter simplement y' à y, on fait d'abord la transformation
y' -> xy' avant de l'ajouter à y.
Vous vous êtes peut-être (à juste titre) demandée de quel chapeau sortait cette loi.
Moi aussi au premier abord :-)

Alain

Dernière modification par bridgslam (25-08-2024 18:43:57)

Michel Coste

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Re : sous-groupe distingué

Bonsoir,
On reconnaît dans ce groupe le groupe des transformations affines de la droite $u\mapsto xu+y$. C'est effectivement le produit semi-direct du sous-groupe distingué des translations par le sous-groupe des homothéties non nulles de centre l'origine (qui agit comme on l'imagine sur le sous-groupe des translations).
Avec $x>0$, c'est le sous-groupe distingué des transformations préservant l'orientation de la droite.