Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bibmgb

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Problème de géométrie

Bonjour,
Je cherche un exercice dont l’énoncé est le suivant : Le plan est muni d’un repère orthonormé [tex](O, \vec{i},\vec{j})[/tex]. Déterminer l’ensemble des centres des cercles qui passent par le point P(1;0) et qui possèdent deux tangentes perpendiculaires qui se coupent en O.

J’ai dessiné à la main deux tangentes T1 et T2 perpendiculaires en O et un cercle de centre A et de rayon r tangent aux droites T1 et T2. Je place ensuite un point P sur ce cercle.

En posant M1 le projeté orthogonal de A sur T1 et M2 le projeté orthogonal de A sur T2, j’observe que OM1AM2 est un carré de côté r. De plus, OM1A est un triangle rectangle isocèle en M1. Par application du théorème de Pythagore, j’obtiens que
[tex]OA^2=2r^2[/tex] soit [tex]x_A^2+y_A^2=2r^2[/tex].

Je traduis le fait que P1 appartient au cercle par
[tex](1-x_A)^2+y_A^2=r^2[/tex]
Les deux équations précédentes me donnent [tex]x_A=\dfrac{r^2+1}{2}[/tex].

À partir de là je sèche pour avancer. Si quelqu’un a une idée je suis preneuse.
Bonne journée.

jelobreuil

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Re : Problème de géométrie

Bonjour,
Ce qui t'est demandé, c'est l'ensemble des centres des cercles qui respectent tes deux équations, autrement dit l'ensemble des paires de coordonnées $(x_A, y_A)$. Donc, puisque tu as deux relations où interviennent ces coordonnées et $r$, eh bien, ce qu'il faut éliminer entre elles deux, c'est ..., bien sûr !
Bien cordialement, JLB

bridgslam

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Re : Problème de géométrie

Bonjour,

Dans un système d'axes (OX,OY) d'angle de mesure  $\theta \in [0; \pi/2]$ par rapport à Ox , les centres des cercles cherchés sont de coordonnées $(t,-t)$ avec
$t = cos \theta + sin \theta  \pm \sqrt {sin 2\theta }$

Aux limites de l'intervalle le cercle est unique et possède un seul point d'intersection fixé avec l'axe Ox (haut du cercle, ou bas du cercle).
Autrement il y a deux cercles, du au fait que le point d'intersection demandé a le choix parmi deux intersections (le plus loin ou le plus près de O) avec l'axe Ox.

Je n'ai pas fait les transformations de rotations classiques pour revenir aux axes Ox,Oy initiaux, les expressions se simplifient peut-être...

Il est clair que l'intervalle est contraint par les deux seuls cadrans, sinon il n'y a pas d'intersection possible.

A.

Rescassol

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Re : Problème de géométrie

Bonjour,

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (18-08-2024 13:03:33)

bibmgb

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Re : Problème de géométrie

Bonjour,
Suivant l'idée de jolebreuil, je vais donc éliminer le rayon r.
Je pars donc de [tex](L_1) : x_A^2+y_A^2=2r^2 [/tex] et [tex](L_2) : (1-x_A)^2+y_A^2=r^2[/tex].
J'effectue [tex]L_1-2L_2[/tex] et j'obtiens [tex]-x_A^2-y_A^2+4x_A-2=0[/tex].
Je réarrange cette équation pour faire apparaître une équation de cercle et j'obtiens [tex](x_A-2)^2+(y_A-0)^2=\sqrt{2}^2[/tex].
Ce qui signifie que les centres des cercles répondants aux conditions de l'énoncé sont sur le cercle [tex]C[/tex] de centre [tex](2,0)[/tex] et de rayon [tex]\sqrt{2}[/tex]. À ce stade j'ai l'impression de n'avoir fait qu'un raisonnement par implication et non par équivalence. Donc il me semble que je ne peux pas affirmer que tous les points de [tex]C[/tex] conviennent.

jelobreuil

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Re : Problème de géométrie

Bonjour bibmgb,
Oui, apparemment, l'indication que je t'ai donnée est insuffisante, et comme je sais que Rescassol et Bridgslam sont nettement plus qualifiés que moi, il vaut mieux que tu suives leurs démarches !
Bon courage, bien cordialement
JLB

Michel Coste

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Re : Problème de géométrie

Bonjour,

L'équation de cercle que tu as écrite exprime que $OA= \sqrt2\times PA$. C'est bien dire que le carré de sommets opposés $O$ et $A$ a ses deux côtés issus de $O$ tangents au cercle de centre $A$ passant par $P$.

Dernière modification par Michel Coste (20-08-2024 07:50:14)

bibmgb

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Re : Problème de géométrie

Bonjour,
L'équation [tex](x_A-2)^2+(y_A-0)^2=\sqrt{2}^2[/tex] me dit que [tex]\Omega A=\sqrt{2}[/tex] où [tex]\Omega(2,0)[/tex].
Comment arrivez-vous à l'égalité [tex]OA=\sqrt{2}PA[/tex] ? Le triangle [tex]OA\Omega[/tex] peut être quelconque. Je remarque toutefois que [tex](AP)[/tex] est une médiane de ce triangle.
Merci.

Michel Coste

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Re : Problème de géométrie

N'as tu pas obtenu ton équation de cercle comme $2\left((1-x_A)^2+y_A^2\right)=  x_A^2+y_A^2 $ ?

bibmgb

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Re : Problème de géométrie

J'ai compris, c'est une application du théorème de la médiane.
Oui effectivement, sans passer par le théorème de la médiane, ce que j'ai fait revient à écrire [tex]2((1-x_A)^2+y_A^2)=x_A^2+y_A^2[/tex] ce qui donne bien [tex]OA=\sqrt{2}PA[/tex].

J'ai fait une construction geogebra avec la donnée supplémentaire [tex]OA=\sqrt{2}PA[/tex] qui permet de construire le carré de diagonale [tex][OA][/tex] (c'est donc un carré de côté [tex]PA[/tex] donc les deux autres sommets sont sur le cercle de centre A et de rayon PA), cela donne bien les tangentes perpendiculaires au cercle s'interceptant en [tex]O[/tex]. En déplaçant A sur le cercle de centre [tex]\Omega[/tex] et de rayon [tex]\sqrt{2}[/tex], on voit que tous les points du cercle sont solutions du problème.

Dernière modification par bibmgb (20-08-2024 14:35:39)