Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Roro34

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Corps Q[\sqrt(2)]

Bonjour j'aimerai savoir pourquoi on a Q[[tex]\sqrt(2)[/tex]]= { a + b[tex]\sqrt(2)[/tex] | a,b [tex] \in [/tex] Q } = { P([tex]\sqrt(2)[/tex]) | P [tex] \in [/tex] Q[X] }
Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Corps Q[\sqrt(2)]

Bonsoir,

Il y a deux égalités, qu'est-ce-que vous ne comprenez pas?
Les deux?

A.

DeGeer

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Re : Corps Q[\sqrt(2)]

Bonjour
Pour ta deuxième égalité (je ne sais pas sur quelle égalité porte ta question), tu peux remarquer que $\sqrt{2}$ est annulé par le polynôme $X^2-2$ (qui est d'ailleurs son polynôme minimal). Tu peux donc effectuer la division euclidienne de $P$ par $X^2-2$ : il existe des polynômes $Q$ et $R$ tels que $P = Q(X^2-2)+R$ avec $deg(R)<2$. Ainsi, $P(\sqrt{2})=R(\sqrt{2})$, qui est bien de la forme $a+b\sqrt{2}$.