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Nabil8776

Invité

Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Bonjour pour tous le monde ,
Actuellement je suis tombé sur un exercice du calcul différéntiel :

Soit l'application u:E----->F tel que u(f)=f' ,avec:
E :ensemble des fonctions f de classe C1 sur [0,1] à valeurs dans R avec f(0)=0 et
F: ensemble des focntions f continues sur [0,1] .
Comment montrer que cette application est de classe Cinfini?

Pour montrer que cette fonction est Cinfini , il  faut montrer qu'il est différentiable et ses dérivés sont continues ,
J'ai montré que f est différentiable et les dérivés existent , mais ce que j'ai pas arriver à faire , c'est de montrer que ces dérivés sont continues .

Votre aide s'ils vous plait ?

Michel Coste

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Bonjour,
Pour parler de fonction $C^\infty$, il faudrait que $E$ et $F$ soient des variétés différentiables. Quelle est leur structure de variété différentiable ?

Nabil8776

Invité

Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Voilà l'exercice complet
https://drive.google.com/file/d/1Igab9o … sp=sharing

Michel Coste

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Ben voilà ... il ne faut pas manger la moitié de l'énoncé !
Qu'as-tu répondu aux premières questions ?

Nabil8776

Invité

Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

J'ai pas pu faire tous les exercices , actuellemenet , je suis dans la premiére question.

Nabil8776

Invité

Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Une idée ou comment faire pour cette premiére question ?

Michel Coste

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

J'ai montré que f est différentiable et les dérivés existent

C'est ça que je te demande.

Nabil8776

Invité

Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

D'accord , comment montrer que tous ces dérivés sont continues ?

Michel Coste

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Tu dis avoir montré que $f$ est différentiable.
Je te demande donc ce que tu as trouvé comme dérivée pour $f$.
Tu dis "les dérivés existent". Qu'est ce que ça veut dire ? Peux-tu expliciter ? Si tu as des dérivées à n'importe quel ordre, elles sont forcément continues, non ? Une fonction différentiable est forcément continue, n'est-ce pas ?

Dernière modification par Michel Coste (15-08-2024 07:41:54)

bridgslam

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Bonjour,

N'a-t-on pas ceci?

▼la différentielle?

$D\phi =\phi$  .

La linéarité est claire.
Sa continuité est vérifiable  (1-lipschitz)

Bonne fin de journée

A.

Michel Coste

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Ça serait plutôt

▼Texte caché

$D\phi(f) =\phi$ 

bridgslam

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Bonsoir,

Oui, tout à fait.
Merci !
Sinon, lorsque E n'est pas de dim finie, on doit toujours vérifier la continuité de la différentielle?
C'est bien dans la définition?

Bonne soirée
Alain

Michel Coste

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Oui.

bridgslam

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Re : Exercice différentiabilité - Classe Cinfini

Bonjour

Ok merci pour tes messages toujours très pertinents et dont la lecture est particulière bienvenue, tous domaines confondus.

Alain