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Bresson

Invité

matrice et application multiplicative

Bonjour je suis actuellement bloqué à la dernière question d'un exercice dont voici l'énoncé :

Soit f:$M_{n}(K)\rightarrow$K non constante et telle que $\forall$ A,B $\in$ $M_{n}(K)$, f(AB)=f(A)f(B)

a) Déterminer f($I_{n}$). Montrer que si A est inversible, alors f(A)$\neq$0
b) Montrer f(0)=0. Montrer que si A nilpotente, alors f(A)=0.
c) Montrer que A est inversible ssi  f(A)$\neq$0
d) Déterminer les X$\in$ $M_{n}(K)$ tels que pour tout M$\in$ $M_{n}(K)$, f(M+X)=f(M)+f(X)

Donc les questions a et b sont assez immédiates. Et pour la question c j'ai montré montré qu'une matrice qui n'est pas inversible est équivalente à une matrice nilpotente.

bridgslam

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Re : matrice et application multiplicative

Bonsoir,

Après quelques investigations j'en suis arrivé là par conditions nécessaires, en notant S l'ensemble des X cherché :

(S,+ , .) est un sous-espace vectoriel de (M,+).

On a les conditions nécessaires suivantes:

Si un inversible est dans S , S les contient tous. (1)
Alors le centre des nilpotents ( partie des nilpotents commutant avec tous les nilpotents) est contenu dans S. (2)

Pour (1) on remarque que le produit d'un élément de S par un inversible reste dans S, puis que si X dans S est inversible, comme $I = XX^{-1}$, I est dans S,
donc pour tout inversible U, U = UI  est dans S.
Pour (2) si N est un nilpotent central, f( M+N) = 0 = f(M) + f(N) pour tout M nilpotent car M+N est nilpotent.
Par ailleurs f(U+N) = f(U) + f(N) pour tout inversible U (qui est dans S).

Il y a peut d'autres pistes à explorer en se basant sur le fait qu'on connait l'expression standard des formes multiplicatives sur Mn:
ce sont en effet les composées de det par des multiplicatives de K dans K.

Alain

Dernière modification par bridgslam (04-08-2024 02:48:40)

Bresson

Invité

Re : matrice et application multiplicative

Bonjour,
Merci beaucoup pour votre aide.

bridgslam

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Re : matrice et application multiplicative

Bonjour,

Hélas, je n'ai pas fait grand chose, me basant juste sur les propriétés de f , d'anneau non commutatif abstrait, et de dichotomie inversibles/nilpotentes plus spécifiques à la question.

Une voie plus prometteuse serait sans doute d'exprimer les deux propriétés sur des sous-ensembles de matrices simples permettant d'engendrer Mn, du style
matrices de dilatations et de transvections.
Question pas facile sans éclair divin (!).

Ce qui n'empêche pas d'avoir un coup de foudre pour cette  question :-)  ou pour d'autres...

Bonne journée

Alain

bridgslam

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Re : matrice et application multiplicative

Bonjour,

Finalement, je demeure plutôt pessimiste sur la question, sur laquelle je me suis re-penché.

Supposons que S ,sev de Mn , ne soit pas réduit à {O}.

S'il existe X non nul et non inversible dans S, et qu'on peut alors trouver M non inversible telle que M+X soit inversible (ça reste à prouver !), c'est mort.
En effet f(M+X) serait à la fois nul (0+0) et non nul...

Donc S\{O} , non vide,  serait  tout entier inclus dans Gln. mais comme on l'a déjà dit, tout inversible est alors dans S (preuve facile en utilisant la multiplicativité).
Mais il doit bien exister une inversible U (donc dans S) et une matrice M non inversible dont la somme U + M est non inversible (ça reste à prouver aussi !).
C'est mort car alors f(U+M) = f(U)+f(M) = f(U) est à la fois nul et non nul.

Ainsi, avec ces idées (et les affirmations à prouver, si elles sont justes...), cela montrerait que S est réduit à la matrice nulle.

Alain

Michel Coste

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Re : matrice et application multiplicative

Bonjour,

Et pour la question c j'ai montré montré qu'une matrice qui n'est pas inversible est équivalente à une matrice nilpotente.

Équivalente dans quel sens ???
Ce n'est pas vrai si tu prends l'équivalence habituelle des matrices !