Forum de mathématiques - Bibm@th.net

granfada

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Intégration [Résolu]

Bonjour tout le monde,
j'ai une petite question à vous soumettre.

Soit f une densité de probabilité telle que [tex]f(x)=\frac{2-|-\cos(1/x)+2x\sin(1/x)|}{c}[/tex] avec c constante de normalisation proche de 2 et [tex]x \in [-1,0[\cup]0,1][/tex].

Si je calcule F primitive de f et donc fonction de répartition je trouve

[tex]F(x)=\frac{2(x+1)-K\times x^2\times \sin(1/x)-K*sin(1)}{c} \text{ pour }x \in[-1,1][/tex]

avec [tex]K=sign(-\cos(1/x)+2x\sin(1/x))[/tex]

Mais F(1/(2*pi))>1.7 ... alors qu'on devrait avoir quelquesoit x 0<F(x)<1...

Je ne vois pas où est mon erreur ni comment la corriger pour que F soit effectivement une fonction de répartition.

Merci d'avance

yoshi

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Re : Intégration [Résolu]

Bonjour,

Je ne peux pas te répondre, hélas...
Mais dis-nous si les balises tex rajoutées et les fractions mises en place n'ont pas dénaturé ton exercice et notamment la 1ere ligne où tu avais écris : "...et \diff 0[/tex]...
(Je n'ai pas trouvé le vocable \diff...)

J'ai essayé d'intégrer ta fonction avec wxMaxima qui fait du calcul formel : il ne trouve pas...
J'ai testé par morceaux :
L'intégration de [tex]\left\int\,x\times \sin({1 \over x})=\frac{x^2.\times\sin({1 \over x})+x.\cos(1/x)-\left\int\,\frac{\sin({1 \over x})}{x}}{2}[/tex]

Et pour [tex]\left\int\,\frac{\sin({1 \over x})}{x}[/tex]   pas de réponse...

Ce logiciel ne doit pas encore être tout à fait au point...

@+

Fred

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Re : Intégration [Résolu]

Salut,

  Je n'ai pas trop le temps de réfléchir ...
mais est-ce que tu as bien calculé la primitive morceaux par morceaux.
Je veux dire avec la bonne constante d'intégration....

Par exemple, si f(x)=|x| sur ]-1,1[ (magnifique densité),
sa fonction de répartition est donnée par
F(x)=1-x^2/2 si x<0
F(x)=int(-1,0,f(x))+int(0,x,f(x))=1/2+x^2/2.
Ce n'est pas simplement F(x)=1+signe(x) x^2/2 (qui est ce que j'ai l'impression que tu as fait dans cet exo).

Fred.

granfada

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Re : Intégration [Résolu]

Merci de vos premières réponses. Le \diff était pour dire que x ne pouvait pas etre égal à zéro donc la traduction en intervalles est équivalente.

@yoshi : la primitive de -cos(1/x)+2xsin(1/x) est connue et c'est x²sin(1/x)

@Fred: Pour trouver ma fonction de répartition F j'ai fait 2 intégrations de f. Une dans le cas ou -cos(1/x)+2xsin(1/x)>0 et dans ce cas on trouve  F que j'ai mis en haut avec K=1. Et une 2e dans le cas où -cos(1/x)+2xsin(1/x)<0 et on trouve F avec K=-1.

Je ne comprends donc pas comment je peux avoir des valeurs >1 au milieu de ma fonction de répartition et ça uniquement dans le cas où K=-1...

Merci d'avance

yoshi

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Re : Intégration [Résolu]

Salut,

Merci pour ta précision, je viens de réessayer avec wxMaxima (libre et gratuit), il a trouvé : ça me rassure ! J'avais dû oublier quelque chose...

Cela dit si F est la primitive de f sans "autre forme de procès", alors je trouve :
[tex]F(x)=\frac{2x-K.x^2\sin({1 \over x})}{c}+cte[/tex]
confirmé avec wxMaxima.

Si ça peut t'aider...

+

Fred

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Re : Intégration [Résolu]

Salut,

  Oui, granfana, mais ce que je veux dire, c'est que les constantes d'intégrations sont très importantes quand tu cherches une fonction de répartition.
Essaie de procéder comme tu as fait pour ta fonction avec |x|, et compare avec ce que j'ai fait.

Toi, ce que tu as fait, c'est calculer l'intégrale entre -1 et x de la fonction, en supposant qu'elle était ou bien toujours positive, ou bien toujours négative sur l'intervalle [-1,x]. Ce n'est pas le cas, car elle change de signe, et tu es obligé de procéder en deux coups si on est après le changement de signes.

Fred.

granfada

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Re : Intégration [Résolu]

Tu veux dire que ce serait ma constante c qui serait fausse ?

Il faudrait en fait que je calcule [tex]\int_{-1}^1 2-(-cos(1/x)+2xsin(1/x))dx[/tex] lorsque (-cos(1/x)+2xsin(1/x)) est positive et [tex]\int_{-1}^1 2-(cos(1/x)-2xsin(1/x)dx[/tex]lorsque (-cos(1/x)+2xsin(1/x) est négative ?

Et qu'il faut que je change ma fonction F des que le signe de (-cos(1/x)+2xsin(1/x)) change ?

Fred

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Re : Intégration [Résolu]

Ce n'est pas ta constante c qui est fausse, mais tu fais comme si la fonction était toujours positive sur [-1,1] ou toujours négative sur [-1,1]. Or elle change de signe (plein de fois d'ailleurs).
Ainsi, elle commence par être positive jusqu'en x_0, où elle s'annule.

La formule que tu donnes dans le cas positif fonctionne.

Ensuite, entre x_0 et x_1, elle est négative. Dans ce cas, tu as

F(x)=la formule que tu donnes dans le cas négatif+Constante

où la constante est choisie de telle sorte que la fonction F est bien continue en x_0.

Et ainsi de suite...
Cela dit, cette fonction s'annule une infinité de fois et on ne va pas pouvoir procéder comme cela à chaque fois.
Quelle valeur de F t'intéresse vraiment?

Fred.

yoshi

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Re : Intégration [Résolu]

Bonjour,

Pour faire avancer ta réflexion...
Courbe de y = cos(1/x)-2xsin(1/x) pour x dans [-0,1 ; +0,1] : tu noteras tous les changements de signe...

@+

[EDIT]
Fred m'a devancé, tandis que je me débattais pour afficher l'image...
Je laisse le post quand même, il illustre la phrase de Fred :

(...) Cela dit, cette fonction s'annule une infinité de fois (...)

granfada

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Re : Intégration [Résolu]

Or elle change de signe (plein de fois d'ailleurs).
Ainsi, elle commence par être positive jusqu'en x_0, où elle s'annule.

Ok j'ai pigé. Dans ce cas, on ne peut donc pas obtenir de formule explicite pour F.

Ce qui m'intéresse c'est de calculer [tex] F(h)-F(-h)/2h [/tex] en 0 et montrer qu'on obtient bien quelquechose qui est en l'occurence le mode de la fonction f.

Fred

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Re : Intégration [Résolu]

A première vue, cela n'a pas l'air si commode à faire...
Ca existe dans la vraie vie une densité comme cela?
Ou c'est juste un exo? (quel niveau?)

F.

granfada

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Re : Intégration [Résolu]

En fait c'est pas vraiment un exo.

Je suis en thèse et il faut que je trouve une fonction dans ce style (pénible, non continue en zéro mais telle que [F(h)-F(-h)]/2h soit fixe et le mode de f). Et je galère depuis un moment il me semblait que c'était bon mais je me suis rendu compte que non. J'essaie juste de trouver un exemple qui correspond.

Je vais m'y remettre.

Merci et a+