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Bresson

Invité

polynôme unitaire

Bonjour je n'arrive pas à résoudre la deuxième question de cet exercice :

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : polynôme unitaire

Bonsoir,

Désolé pour toi, je suis incompétent pour le fond, mais quelques remarques de forme qui ne te paraîtront sûrement pas évidentes...

Donc d'abord, quelques informations sur la photo jointe.
1. Photo couleur. Etait-ce bien pertinent pour du texte ?
2. Un 1/4 tour à gauche eut été approprié pour éviter à mes camarades le risque de torticolis
3. 72 points par pouce et taille 1,421 m x 0,6646 m (oui, oui 1,40 m par 66 cm, un vrai "drap de lit"

Conclusion : Photo réalisée par un smartphone et utilisée brute de décoffrage. Ça surprend, s'pas ?...

La même nettoyée, recadre par mes soins :
1. Image N & B
2. Image dans le bon sens
3. 200 points par pouce et taille 12 cm x 5 cm(200 points par pouce, c'est beaucoup pour affichage écran : la norme se situe entre 72 et   
    100 dpi (selon la taille des écrans : le mien est un 24" affichant 1920 x 1200 pixels)
4. Nombre d'octets de mémoire consommés consommé  1,06 Mo (Mégaoctets).

J'ai travaillé avec un petit logiciel (1,7 Mo) gratuit version 6.3 Photofiltre.
Mon image pourtant se lit aussi bien, non ?

Je pousse la plaisanterie à le recopier en texte Latex (initiation ici : Code Latex)

$77. (*)$
     $(a)$ Soit P un polynôme unitaire de degré $n\geqslant 1$ de $\mathbb R[X]$. Montrer que :
                                                                $\underbrace{max}_{x\in [-1 ; 1]} |{P(x)}|\geqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$.

    Indication : Raisonner par l'absurde et considérer
                                                                  $Q= P -\dfrac{T_n}{^{n-1}}$
    où $T_n$ est le n-iième polynôme de Tchebycheff

     $(b)$ Application : soit P un polynôme unitaire non constant de  $\mathbb R[X]$. Si S est un segment de longueur 4, montrer que :
                                                                  $\underbrace{max}_{x\in S} |P(x)| \geqslant 2$
L'accolade pointe basse est malvenue, mais je n'ai plus le temps ce soir de trouver la parade...

     Yoshi
- Modérateur -

Bresson

Invité

Re : polynôme unitaire

Et voici comment j'ai répondu à la question a :

Donc si je vous sollicite c'est pour la question b car je ne trouve absolument rien de prometteur.
Je voulais utiliser la propriété trouvé en question avec le polynôme P(X+m+1) où (m,M) sont les bornes respectivement inf et sup du segment S car ce polynôme est toujours unitaire mais cela ne m'a mené à rien. Et je n'ai pas eu d'autres idées pour l'instant.
Donc merci pour vos réponses.

Bresson

Invité

Re : polynôme unitaire

Merci beau coup Monsieur Yoshi pour ces remarques. C'est la première fois que j'utilise ce genre de forum je ne suis donc pas très au fait des normes et honnêtement je ne suis pas non plus un expert en Latex etc..
Donc encore une merci pour ces remarques légitimes et  à partir de maintenant je n'enverrai plus de photos, je ferai l'effort d'écrire tous en Latex.

Totototo

Invité

Re : polynôme unitaire

Bonsoir,

1) montrez que si le résultat est vrai pour un segment de longueur 4, alors il est vrai pour tout segment de longueur 4. En particulier dans la suite on suppose $S=[-2;2]$

2) quelle transformation simple permet de passer d'un polynôme unitaire défini sur $S=[-2;2]$ à un polynôme unitaire défini sur $[-1;1]$ (attention au coefficient dominant)

3) la conclusion suit 1) et 2)

Totototo

Invité

Re : polynôme unitaire

Coquille pour 2) Remplacer polynôme par fonction polynôme (sinon ce que j'ai écrit n'a pas de sens)

Bresson

Invité

Re : polynôme unitaire

Bonsoir Monsieur Tototo,
Tous d'abord merci pour vos réponses mais pour ne rien vous cacher je n'arrive à aucune de vos deux étapes car tous d'abord la seule solution qui me vient pour la 2 est de faire comme une homothétie càd diviser par 2 mais donc je perd le caractère unitaire et donc j'imagine que je ne peut donc plus utiliser l'hypothèse de la q a). Et pour la 1 j'ai essayé de faire par l'absurde en fixant tous d'abord un segment où le résultat est vrai  puis en supposant qu'il existait un segment de longueur 4 qui lui ne vérifierait pas l'hypothèse pour arriver à une contradiction mais cela ne me mène à rien.

Totototo

Invité

Re : polynôme unitaire

Commencez par l'étape 2, ie supposez que $S=[-2;2]$
Oui c'est une très bonne idée de transformer $P(x)$ en $P(x/2)$ mais effectivement on perd le caractère unitaire donc on va compenser en multipliant par $2^n$ où $n$ et le degré de $P$.
Quelques remarques avant de poursuivre
1) dans l'énoncé $P$ est supposé non constant ie $deg(P)=n$ supérieur ou égal à 1
2) dans l'énoncé votre 1 ère question a) le degré de P intervient et dans la seconde question b) le degré de P est absent de l'énoncé.

Donc on pourrait se dire qu'on fait fausse route, mais on va poursuivre pour voir ce qu'on peut obtenir.
Si on note $Q(X):=2^nP(X/2)$ on a donc affaire à un polynôme unitaire de degré n et on peut lui appliquer le a) de votre énoncé. Traduisez ce que ça signifie pour le polynôme initial P, vous devriez pouvoir conclure dans ce cas particulier pour le segment S.

Totototo

Invité

Re : polynôme unitaire

Désolé j'ai inversé P et Q en lisant votre message : dans les notations ie si P est le polynôme de l'énoncé, on définit $Q(X)=P(2X)/2^n$ ce qui permet d'avoir Q défini sur $I=[-1;1]$

Totototo

Invité

Re : polynôme unitaire

Supposons maintenant que l'inégalité est vraie pour tout couple $(P(X), [-2;2])$ où P est unitaire non constant.
Vérifiez que le résultat est alors encore vrai pour le couple $(P(X-a), [-2;2])$ où $a$ est un réel quelconque et traduire ce que ça démontre.

Bresson

Invité

Re : polynôme unitaire

Merci en effet ça marche mais plutôt pour Q(X)=$\frac{P(2X)}{2^{n}}$

Totototo

Invité

Re : polynôme unitaire

Oui tout a fait, je m'étais trompé et j'avais rajouté un message. Il reste à prouver le résultat dans le cas général et là aussi j'ai ajouté un message, mais c'est très simple.
Quand vous aurez terminé, remarquez que bien que a) et b) soient équivalentes la formulation b) est plus ''universelle'' car le degré de P n'intervient plus dans l'inégalité (bon il faut quand même P non constant)

Bresson

Invité

Re : polynôme unitaire

Ensuite je pourrais appliquer la même logique mais pour si on note S=[m;M] avec donc M-m=4 :
Q(X)=$\frac{P(2X+m+2)}{2^{n-1}}$ qui reste un polynôme unitaire j'ai donc bien sur [-1;1]:
$max_{x\in[-1;1]}|Q(x)|\leq \frac{1}{2^{n-1}}$
càd   $max_{x\in[-1;1]}|P(2X+m+2)|\leq \frac{2^{n}}{2^{n-1}}$
càd   $max_{x\in[m;M]}|P(x)|\leq 2$

Bresson

Invité

Re : polynôme unitaire

Mince je me suis trompé dans mes inégalités sur Latex.
En tout cas merci énormément à vous car tout seul je n'aurais jamais réussi cette question b.

Totototo

Invité

Re : polynôme unitaire

Il y a plusieurs erreurs : votre Q n'est pas unitaire avec votre choix de dénominateur, et les 3 inégalités sont fausses.

Totototo

Invité

Re : polynôme unitaire

Je n'avais pas le le dernier message. Bonne fin.