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Fanel

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(Couple ordonné )Montrer que (x, y) = (u, v) implique x = u et y = v

Bonsoir à tous. Je suis en L1 MIASHS j'ai du mal avec cette exercice j'ai une petite piste mais je ne sais pas trop par où commencer . Pouvez vous m'aidez merci d'avance.

Exercice 3. (Couple ordonné)

a) Etant donné des ensembles x, y, on définit l’ensemble (x, y) := {{x}, {x, y}}. Montrer que (x, y) =
(u, v) implique x = u et y = v, ce qui est la propriété caractéristique du couple ordonne.
b) Alternativement pour des ensembles x, y, définir (x, y) := {x, {x, y}}. Peut-on toujours assurer que
(x, y) = (u, v) implique x = u, y = v?
c) Donner des formules pour les projections x = π1(p) et y = π2(p) pour p un couple ordonne (défini
selon a)).

DrStone

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Re : (Couple ordonné )Montrer que (x, y) = (u, v) implique x = u et y = v

Bonsoir.

Je te propose une solution de la première question, qui me semble être la plus difficile, et te laisserai faire la suite par toi-même.

Pour répondre à cette première question il te faut d'une part observer que
\[ (x,y)=\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\} \qquad \textbf{et} \qquad (u,v)=\left\{\left\{u\right\},\left\{u,v\right\}\right\} \]
et raisonner par disjonction de cas, d'autre part.

On peut alors réécrire l'égalité de $(x,y)=(u,v)$ par
\[\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}=\left\{\left\{u\right\},\left\{u,v\right\}\right\}.\]
En ce qui concerne la disjonction de cas, on va voir ce qu'il se passe lorsque $\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}$ est un singleton, puis lorsque c'est une paire.

• Premier cas. $\left\{x\right\}=\left\{x,y\right\}$ et $x=y$.
  Afin de satisfaire l'hypothèse, l'ensemble $\left\{\left\{u\right\},\left\{u,v\right\}\right\}$ est lui aussi singleton. Ainsi donc, $\left\{u\right\}=\left\{u,v\right\}$ d'où $u=v$.
  On peut alors réécrire l'égalité initiale par $\left\{\left\{x\right\}\right\}=\left\{\left\{u\right\}\right\}$ soit encore $\left\{x\right\}=\left\{u\right\}$ ce qui entraîne $x=u$. On a alors $x=y=u=v$ et finalement $x=u$ et $y=v$.

• Deuxième cas. $\left\{x\right\}\neq\left\{x,y\right\}$ et $x\neq y$.
  Afin de satisfaire l'hypothèse, les ensembles $\left\{\left\{x\right\},\left\{x,y\right\}\right\}$ et $\left\{\left\{u\right\},\left\{u,v\right\}\right\}$ sont alors tout deux formés de deux éléments distincts : un singleton et une paire (c'est important pour la suite). Ainsi dans l'ensemble $\left\{\left\{u\right\},\left\{u,v\right\}\right\}$, $\left\{u\right\}$ ne peut pas être la paire qui se retrouve forcément être $\left\{u,v\right\}$. On en déduit que $\left\{x\right\}= \left\{u\right\}$ et que $\left\{x,y\right\}=\left\{u,v\right\}$.
  Finalement, comme $\left\{x\right\}= \left\{u\right\}$ alors $x=u$. De plus, comme $\left\{x,y\right\}=\left\{u,v\right\}$ et que par construction $x\neq y$ et $u\neq v$, alors $y=v$.

Dernière modification par DrStone (29-05-2024 01:31:12)