Forum de mathématiques - Bibm@th.net

rolleur

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Topologie

Bonjour,

Je vois dans un exercice que si V est un ouvert d'un espace topologique X, A une partie de X
et $V\cap A$ est vide , alors $V \cap F$ est vide avec F la fermeture de A.

mais je ne vois pas de justification.

BigDeal

Invité

Re : Topologie

Bonsoir! J'ai peut-être trouvé la réponse (je vous demanderai une confirmation),

Raisonnons par l'absurde et supposons $ V \cap F $ non vide. Soit $ a \in V \cap F $.
D'une part, $ a \in V $ donc $ \exists \epsilon > 0 $ tel que $ B(a, \epsilon) \subseteq V $.
D'autre part, $ a \in F $ donc $ B(a, \epsilon) \cap A $ est non vide donc $ V \cap A $ est non vide. Cela est absurde donc $ V \cap F $ est vide.

Respectueusement,
  Nicolas

DeGeer

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Messages : 222

Re : Topologie

Bonjour
Pour rester dans le cadre général des espaces topologiques, on peut raisonner ainsi :
Si $V \cap A = \emptyset$ alors $A \subset V^C$ qui est le complémentaire d'un ouvert, donc un fermé, donc par définition de l'adhérence, $\bar{A} \subset V^C$ soit $V \cap \bar{A} = \emptyset$.