Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Meiosis

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Formule calculant pi

Bonjour,

J'ai trouvé la formule suivante qui calcule $\pi$ :

$$6*\sum_{n=0}^{∞} \frac{(-1)^n}{3^{n + 1/2} (2 n + 1)}=\pi$$

Peut-on la démontrer aisément ?

Merci.

Zebulor

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Re : Formule calculant pi

Bonsoir,...
original... mais alors cette série alternée vaut elle exactement $\pi$

Zebulor

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Re : Formule calculant pi

re,

J'en ai une plus simple :

$$4*\sum_{n=0}^{∞} \frac{(-1)^n}{(2 n + 1)}=\pi$$

Meiosis

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Re : Formule calculant pi

Fascinant. Mais je ne sais pas si ma formule existe déjà. Ramanujan a dû passer par là...

Zebulor

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Re : Formule calculant pi

Bonjour,
pour en revenir à ton premier post je partirais bien de cette somme :

$\sum_{n=0}^{∞} \dfrac{x^n}{2 n + 1}$ sur laquelle on peut travailler ensuite ..

Et je n'invente rien dans mon post 3, c'est du grand classique...

Dernière modification par Zebulor (18-05-2024 13:41:26)

Meiosis

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Re : Formule calculant pi

Merci pour l'astuce !

Ossekour

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Re : Formule calculant pi

Bonjour,

Je me permets une autre suggestion : [tex]\pi=\sqrt{6} \sqrt{\sum \limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2}}[/tex]

Cette estimation provient du problème de Bâle (calcul de la fonction Zêta de Riemann en 2) : [tex]\zeta(2)=\sum \limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/tex].

Il y a plein de manières de démontrer le résultat du problème de Bâle : intégrales de Wallis, analyse de Fourier, permutation série-intégrales, polynômes...

D'un point de vue numérique, [tex]\sum \limits_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n^2}[/tex] converge "rapidement" vers [tex]\frac{\pi^2}{6}[/tex] donc on peut obtenir une bonne estimation en ne calculant que les premiers termes !

Bonne journée.

Zebulor

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Re : Formule calculant pi

Bonjour,
@je suis bien d'accord Ossekour, mais ca dévie un peu du sujet initial ..
$$\frac{(-1)^n}{3^{n} (2 n + 1)}=\frac{(\frac {-1}{3})^n}{(2 n + 1)}$$
Or après calcul quand on connaît le DL de la fonction arctan, on obtient :

$\dfrac{arctan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}=\sum_{n=0}^{∞} \frac{(-x)^n}{2 n + 1}$. Il suffit alors de remplacer $x$ par $\dfrac{1}{3}$..

Si bien que $\sum_{n=0}^{∞} \frac{(-1/3)^n}{2 n + 1}=\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}$ si je ne m'abuse

Dernière modification par Zebulor (18-05-2024 14:20:12)

cailloux

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Re : Formule calculant pi

Bonjour à tous,
Bien savoir que quand on intervient sur un sujet de l'ami Meiosis, ce n'est pas à lui qu'on répond mais à une IA.
Des conjectures qui, quand elles sont avérées, sont laissées à la charge du répondant.
Meiosis (chat GPT)
Je le redis ici : je n'approuve pas.

Zebulor

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Re : Formule calculant pi

Bonjour,

merci cailloux ! je ne sais pas dans quel monde on va vivre..

vam

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Re : Formule calculant pi

Bonjour et il a aussi fait des incursions ici maths.forum
Consternant...

Meiosis

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Re : Formule calculant pi

Oui c'est l'IA.

Par contre pour ma conjecture (que je viens de publier sur un autre sujet) ce n'est pas l'IA.

Zebulor

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Re : Formule calculant pi

re,
et de ce même Meiosis on peut lire :

"Bonjour lake,

Je ne posterai plus. C'est vrai que c'est une démarche peu conventionnelle mais la théorie des nombres me passionne.
Sur ce, j'attends les réponses sur mon dernier poste concernant la constante d'Euler-Mascheroni et savoir si une telle formule existe déjà."