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Gregmaths2.0

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Densite transitive?

Bonjour,
J’ai utilise dans un exercice d’approximation uniforme que si un certain type de fonction sont denses dans les polynomes alors ils seront denses dans les fonction continues (en utilisant weirstrass)
Mais je le rends compte que ce que je fais revient a pretendre que la densite est transitive .
Est ce le cas ?
Je n’arrive pas a y voir clair
Merci pour votre aide

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Densite transitive?

Bonjour,

  Oui, et c'est très facile à prouver : si $X$ est une partie d'un espace vectoriel normé (ou un espace métrique),
si $D_2\subset D_1\subset X$ sont tels que
$D_1$ est dense dans $X$ et $D_2$ dense dans $D_1,$ alors $D_2$ est dense dans $X.$
Soit $x\in X$ et $\epsilon>0.$ Il existe $d_1\in D_1$ tel que $\|x-d_1\|<\epsilon.$
Puisque $D_2$ est dense dans $D_1,$ il existe $d_2\in D_2$ tel qu e$\|d_1-d_2\|<\epsilon.$

On conclut avec l'inégalité triangulaire.

F.