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1WebGenius10

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La limite d'une fonction trigonométrique

Salut j'aurais besoin de votre aide
Sur la Limite quand x tends vers π/4 de 1-√2 cos (x) sur 1-√2 sin(x)

D'après ma réflexion
Limite quand x tends vers π/4 de 1-√2 cos (x) sur 1-√2 sin(x) = cos (1/cos (x) - √2) sur sin (x) (√2/2-√2)  on remplace le π dans x  ça nous donne √2/2.(√2/2-√2) sur √2/2.(√2/2-√2)  On simplifie ça nous donne la limite x tend vers π/4 = 1

Est-ce correct ?

Dernière modification par 1WebGenius10 (13-05-2024 00:10:36)

Fred

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour

  je n'ai pas compris ta première égalité et notamment pourquoi il n'y a pas un facteur 1/sin(x) qui apparaît au dénominateur.

F.

Borassus

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour,

La dérivée de $1 - \sqrt 2 \cos x$ est $\sqrt 2 \sin x$.
Celle de $1 - \sqrt 2 \sin x$ est $- \sqrt 2 \cos x$

En utilisant la règle de L'Hospital, la limite demandée est $-1$. (La règle de L'Hospital est très commode pour résoudre des indéterminations de type $\dfrac 0 0$.)

Ce que confirme le tracé de la courbe par GeoGebra : https://www.cjoint.com/c/NEniDCCd1XD

Bonne journée

PS : Utilise LaTex pour que tes expressions soient facilement lisibles. (Au bas de la fenêtre de saisie, il y a le lien "Code Latex" qui renvoie sur l'excellente page explicative réalisée par Yoshi montrant les principales écritures.)

Dernière modification par Borassus (13-05-2024 10:33:59)

Zebulor

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour,
sinon on peut aussi transformer cette fraction de départ, en multipliant par exemple son numérateur et son dénominateur par $\sqrt{2}cos(x)+1$

Borassus

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour Zebulor,

Je ne vois pas bien ce que cela apporte dans la mesure où on aboutit à

[tex]\dfrac {1 - 2cos^2x}{1 + \sqrt 2(\cos x - \sin x) - \sin{2x}}[/tex]

qui reste une forme indéterminée.

Comment alors continuer ?

cailloux

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour,
Quitte à faire un peu de trigonométrie, on peut montrer qu'au voisinage de $\dfrac{\pi}{4}$ :

$$\dfrac{1-\sqrt{2}\,\cos\,x}{1-\sqrt{2}\,\sin\,x}=-\dfrac{1+\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}{1-\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}$$
Mais au niveau supérieur, un DL donne le résultat presque immédiatement.

Dernière modification par cailloux (13-05-2024 13:09:57)

Zebulor

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonsoir,
je me disais qu'on pouvait trouver des tangentes la dedans, au regard de la courbe de la fonction associée, mais cailloux a trouvé.

@Borassus : il faut garder le dénominateur sous forme factorisée dans un premier temps..

Dès lors la limite cherchée tend vers $\dfrac {1}{2}\dfrac {2cos^2x-1}{\sqrt 2(\sin x) - 1}$

Et on continue en multipliant en haut et en bas par ...

Avec les DL en effet... moyennant peut être un changement de variable ?

Dernière modification par Zebulor (13-05-2024 16:41:59)

cailloux

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonsoir,

... moyennant peut être un changement de variable ?

Ça, c'est une affaire d'appréciation; avec $A(x)=\dfrac{1-\sqrt{2}\cos\,x}{1-\sqrt{2}\sin\,x}$, on peut écrire à l'ordre 1 :
$$A(x)=-1-\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+o\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$$
qui se réduit à l'ordre 0 à :
$$A(x)=-1+o(1)$$

Borassus

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonsoir,

Si je peux me permettre, la règle de L'Hospital, c'est quand même nettement plus simple...   :-)

cailloux

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonsoir Borassus,
"nettement", on pourrait discuter mais il y a un autre "problème" :
La règle de l'Höpital est honnie par les trois quart des profs, que ce soit au lycée ou dans le supérieur (en général sous prétexte qu'on ne vérifie jamais ses conditions d'utilisation mais pas que ...)
Il y a là une "allergie" que je ne me suis jamais expliquée. Cette règle est effectivement diablement efficace et je n'ai jamais compris qu'on veuille s'en priver contre toute logique.
En résumé : je te donne raison.

Dernière modification par cailloux (13-05-2024 21:38:30)

Zebulor

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonsoir,

je te donne raison.

@Borassus : moi aussi

Borassus

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonsoir, Cailloux et Zebulor,

Merci de votre acquiescement.

Il y a là une "allergie" que je ne me suis jamais expliquée.

Comme celles du Seigneur, les voies de l'enseignement sont impénétrables...  :-)

Zebulor

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour,

Comme celles du Seigneur, les voies de l'enseignement sont impénétrables...  :-)

Par contre là je ne suis pas d'accord : celles du Seigneur ne le sont pas mais ça dépasse le cadre du sujet !

Borassus

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour Zebulor,

Je faisais allusion à l'expression, pas forcément à la théologie...  :-)

Bonne journée

cailloux

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour,
En toutes circonstances, j'estime que pour un exercice donné, la diversité des solutions est une richesse.
Soit $f:\,x\mapsto \dfrac{1-\sqrt{2}\,\cos\,x}{1-\sqrt{2}\,\sin\,x}$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right[$
En faisant abstraction des points  $A'$ et $A$, on peut prouver que sa courbe représentative présente un centre de symétrie en $\Omega\left(-\dfrac{\pi}{4},0\right)$ (par exemple avec une translation d'axes où la fonction devient impaire).

Et on a :
$$\lim\limits_{x\to \dfrac{\pi}{4}}f(x)=-\lim\limits_{x\to -\dfrac{3\pi}{4}}f(x)=-1$$

Zebulor

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonsoir,

Bonjour,
En toutes circonstances, j'estime que pour un exercice donné, la diversité des solutions est une richesse.

Absolument, c'est ce que je me disais dans les bouchons en pensant à cette discussion. Et paraît il qu'explorer plusieurs solutions stimule le cortex préfrontal.

Borassus

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonsoir,

L'extension est très jolie, effectivement !
Merci, Cailloux !

De plus, elle illustre la pauvreté d'un très grand nombre (incommensurable ?) d'exercices d'étude de fonctions qui se terminent pour l'élève par « ET ??? ».
Par exemple, que signifie concrètement le fait que la limite de la fonction en $\pi / 4$ est égale à $-1$ ?

L'exercice pourrait aussi se continuer par la question mise en lumière par Cailloux « Y a-t-il d'autres points similaires sur l'intervalle $\left [- \dfrac {5\pi} 4 ; \dfrac {3\pi} 4 \right]$ ? »

Les études de fonctions seraient beauuuucoup plus intéressantes si elles étaient construites sur la représentation de la fonction, et non sur la formulation de la fonction.

Dans le cas présent, les questions pourraient être, en partant de la courbe :

• Apparemment, la fonction est périodique avec des asymptotes verticales. Confirmez cette double observation.

• Les courbes entre deux asymptotes verticales successives semblent continues. Est-ce vraiment le cas ?
  Si ce n'est pas le cas, quels points invisibles sur ces courbes "posent problème" ?
  Comment alors doivent être lues les courbes ?

• Chaque courbe semble être symétrique par rapport à un point. Quel est ce point ? Quelle est la caractéristique principale de ce point ? Confirmez vos observations par calcul.

• D'autres questions qui vous viendraient à l'esprit ? (Je m'adresse au forum ; il ne s'agit donc pas d'une question posée à l'élève. Mais on pourrait permettre des questions ouvertes : « Observez-vous d'autres caractéristiques que vous pourriez confirmer par calcul ?

Avec de telles questions, on entraîne les élèves à avoir une démarche véritablement analytique : j'observe telle et telle caractéristiques, et je les confirme par calcul — et, donc, je les comprends.

En toutes circonstances, j'estime que pour un exercice donné, la diversité des solutions est une richesse.

C'est quelque chose qu'un certain nombre de profs devraient intégrer !
Je vois pas mal d'élèves frustrés de se voir barrer une solution juste, mais qui ne correspond pas à ce que le prof impose...
Ils en viennent à craindre le prof.

Dernière modification par Borassus (15-05-2024 20:43:52)

cailloux

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour Borassus

• D'autres questions qui vous viendraient à l'esprit ?

Bien sûr on peut "prolonger". La première chose qui me vient à l'esprit est très académique :
Je fais référence à la fonction $f$ du message #15
Soit $g$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right[$ par :

$$g:\,\begin{cases}g(x)=f(x)\text{ si }x\not=\dfrac{\pi}{4}\\g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\end{cases}$$
Montrer que $g$ est dérivable en $\dfrac{\pi}{4}$ et déterminer son nombre dérivé en ce point.

Borassus

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour Cailloux,

Tout à fait, merci !

Pour rester dans l'esprit de mes questions, cette question pourrait être :

• [...]

• Les courbes entre deux asymptotes verticales successives semblent continues. Est-ce vraiment le cas ?
  Si ce n'est pas le cas, quels points invisibles sur ces courbes "posent problème" ?
  Comment alors doivent être lues les courbes ?

• Comment réécrire la fonction $f$ pour assurer la continuité aux points déterminés à la question précédente ? La fonction est-elle alors dérivable en ces points ?
  Si oui, quelle y est la valeur de la dérivée ?

• [...]

cailloux

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Re : La limite d'une fonction trigonométrique

Bonjour,
Puisque nous sommes dans le forum "supérieur", on peut remarquer que ceci :

...  à l'ordre 1 :
$$g(x)=-1-\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+o\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$$

répond immédiatement aux dernières questions (dérivabilité et nombre dérivé en $\dfrac{\pi}{4}$).