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icicestmontpellier

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développement en série entière

Bonjour, je me pose des questions quant à la résolution de 2 questions concernant la fonction [tex]\alpha(x)=cos(\sqrt{x}), x \in \mathbb{R}^+[/tex]. Voici les deux questions : 1) démontrer que la fonction se prolonge de façon unique en une fonction DSE sur [tex]\mathbb{R}[/tex], 2) déterminer l'expression de [tex]\alpha[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^-[/tex].
Ce qui me dérange c'est que j'ai l'impression que la première question suffit, que l'on puisse démontrer "2 en 1". Mais en voyant ces deux questions j'ai bien envie de dire que pour la 1) qu'en supposant qu'il y a au moins 2 telles séries entières, alors par unicité des coefficients on trouve qu'il y en a bien qu'une seule. Cependant, ça ne montre pas spécialement que [tex]\alpha[/tex] est vraiment DSE. Pour ce faire, j'aurai voulu chercher un DSE de la fonction pour montrer que c'est le cas sauf que il s'agit de la question 2) donc je sais pas quoi écrire. Sinon j'ai pensé à l'inégalité de Taylor-Lagrange mais ça m'a l'air compliqué pour pas grand chose.
Merci !

Fred

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Re : développement en série entière

Bonjour,

  Dans la question 2, on te demande de déterminer une expression de $\alpha$ à l'aide de fonctions simples (type la fonction exponentielle, la fonction sinus, la fonction cosinus hyperbolique...)
Pour la question 1., on te demande de démontrer que si $x\in\mathbb R^+$, on peut écrire
$$\alpha(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n$$
puisque que cette série converge également sur $\mathbb R_-$. Pour cela, il faut partir du développement en série entière de la fonction cosinus.

F.