Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tilda

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Séparation

Bonjour tout le monde , j'espère que vous vous portez bien

s'il vous plait , je cherche un critère de séparation dans un espace topologique hors que la définition (pour tout x,y dans E , si x est différent de y alors il existe un voisinage de x et un voisinage de y tels que leur intersection soit vide) est-ce qu'on n'a pas un théorème ou autre plus pratique pour montrer qu'un espace topologique est séparé ?

Merci beaucoup

Eust_4che

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Re : Séparation

Bonjour,

On a l'embarras du choix. Soit $X$ un espace topologique. Les propositions suivantes sont équivalentes :

- Quels que soient les points distincts $x, y$ de $X$, il existe un voisinage de $x$ et un voisinage de $y$ qui ne se rencontrent pas (ce qui est habituellement pris comme la définition).

- L'intersection des voisinages fermés d'un point $x$ quelconque de $X$ est le singleton $\{ x \}$.

- La diagonale $\Delta$ de l'espace produit $X \times X$ (ie l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que $x = y$) est une partie fermée.

- Pour tout ensemble $I$, la diagonale $\Delta$ de l'espace produit $X^I$ est une partie fermée de $X^I$.

- Il existe une topologie sur $X$ moins fine que la topologie de départ et qui est une topologie séparée.

- Il existe une injection continue de $X$ dans un espace topologique séparé.

etc.

Si tu connais la définition des filtres,

- Un filtre sur $X$ ne peut avoir plus d'un point limite.

- Si un filtre $\mathfrak{F}$ sur $X$ admet un point limite $x$, $x$ est le seul point adhérent à $\mathfrak{F}$.

Après, si l'on rajoute des hypothèses sur la topologie de $X$, on peut retrouver d'autres caractérisations. Par exemple, si la topologie de $X$ est la topologie la moins fine rendant continue un ensemble $H$ de fonctions de $X$ dans $\mathbf{R}$, pour que $X$ soit séparé, il faut et il suffit que, pour tous éléments $x \neq y$ dans $X$, il existe $f \in H$ telle que $f(x) \neq f(y)$.

E.

DeGeer

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Re : Séparation

Bonjour
Tu peux essayer de trouver un ouvert qui contient $x$ et pas $y$, et un ouvert qui contient $y$ et pas $x$. Sinon, certains espaces topologiques sont toujours séparés, comme par exemple les espaces métriques.

tilda

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Re : Séparation

Bonjour,

- L'intersection des voisinages fermés d'un point $x$ quelconque de $X$ est le singleton $\{ x \}$.

Bonjour

Que voulez-vous dire par voisinage fermé ? un voisinage est toujours ouvert dans un espace topologique n'est-ce pas ?

Merci

Dernière modification par tilda (12-03-2024 10:54:26)

bridgslam

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Re : Séparation

Bonjour,

1/ un voisinage n'est pas toujours ouvert
2/ un voisinage peut être fermé
3/ "ouvert" n'est pas le contraire de "fermé" ( vous semblez le sous-entendre dans votre remarque)

Toujours pareil, comme avec vos autres posts,  relisez votre cours... le but ici n'étant pas de vous le répéter, les cours sont faits pour ça.

A.

bridgslam

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Re : Séparation

Bonjour,

Bonjour
Tu peux essayer de trouver un ouvert qui contient $x$ et pas $y$, et un ouvert qui contient $y$ et pas $x$. Sinon, certains espaces topologiques sont toujours séparés, comme par exemple les espaces métriques.

Cela c'est une forme un peu plus faible que la séparation de Hausdorf.

A.

tilda

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Re : Séparation

Bonjour,

1/ un voisinage n'est pas toujours ouvert
2/ un voisinage peut être fermé
3/ "ouvert" n'est pas le contraire de "fermé" ( vous semblez le sous-entendre dans votre remarque)

Toujours pareil, comme avec vos autres posts,  relisez votre cours... le but ici n'étant pas de vous le répéter, les cours sont faits pour ça.

A.

Bonjour

on n'a pas vu ça en cours.

un voisinage fermé de x est donc un fermé qui contient x ?

Je n'ai pas bien compris votre dernière affirmation.

Merci bien

bridgslam

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Re : Séparation

Bonjour,

Difficile de faire de la topologie sans ces notions archi minimum. Vous l'avez forcément vu avant ou pendant la L3 puisqu'on vous donne des exos sur le sujet.

Ouvert: toute partie de X qui est dans la topologie T (quand elle est définit par sa famille d'ouverts)
             Quand la topologie est définie par la famille des filtres de voisinages en chaque point, ce sont les parties voisinages de chacun de leurs points.
             Quand la topologie est définie par la famille des fermés, un ouvert est exactement le complémentaire d'un fermé.

Fermé: F est fermé <=> son complémentaire est ouvert.

Voisinage d'un point x : toute partie contenant un ouvert contenant x (on peut généraliser à voisinage d'une partie)

Th: une partie U est ouverte <=> pour tout x dans U, U est un voisinage de x.

Vide et X sont toujours à la fois ouverts et fermés, il peut y avoir d'autres cas selon l'espace topologique ( s'il n'est pas connexe) considéré.

Dans R muni de sa topologie habituelle, [-1 ; 1 ] est un voisinage fermé de 0, ainsi que de tout point de ]-1, 1[ d'ailleurs (son intérieur).

A.