ICOSITETRAEDRE TRAPEZOIDAL, vous connaissez ?

Bernard-maths · 11-02-2024 19:21:48

Bonjour à tous !

Wiwaxia va réagir ... Je reprends sur les polyèdres et leurs équations !

L'icositétraèdre trapézoïdal est un bel objet, et je suis tombé dessus un peu par hasard, je vais vous raconter.

Vous pouvez le trouver : https://mathcurve.com/polyedres/icosite … idal.shtml

Le nom trapézoïdal vient de la forme des quadrilatères "cerfs volants" qui sont presque des trapèzes. C'est comme ça !

Un jour j'avais dessiné un octaèdre et je constatais qu'un point intérieur ne se projetait pas forcément à l'intérieur des 8 faces, alors que pour le cube c'est le cas (un point intérieur se projette à l'intérieur des 6 faces). Je me suis alors posé la question : quels sont les points (de l'espace) qui se projettent simultanément à l'intérieur des 8 faces de loctaèdre ??? Comme ça pour voir ...

Et j'ai trouvé l'icositétraèdre trapézoïdal ! Voilà une première étude à mener, avec des prismes ...

Une deuxième méthode consiste à le construire ...

Je vais commencer par cette deuxième méthode, et je poursuivrai après avec les prismes.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-02-2024 08:13:20)

Bernard-maths · 21-02-2024 08:45:59

Bonjour à tous !

Commençons par la construction.

ALORS : POUR LE PLAISIR DE CONSTRUIRE EN GEOMETRIE !

Nous allons construire cet icositétraèdre trapézoïdal, et en chercher des équations ensuite.

par exemple, si vous tracez trois carrés sur les trois plans d'un repère ON, vous devinez vite un octaèdre :

Alors, faisons de même avec des octogones réguliers :

Voilà deux vues de ces trois octogones ... ABCDEFGH, AQPSFUKW et CIPNGLKJ.

Comment tracer des faces sur ce squelette ? Dans chaque 8ème d'espace, par exemple pour x, y et z > 0, on peut joindre les pointsB, I et Q en triangle (équilatéral) ... ou plutôt on trace les trois triangles (non rectangles) PIQ, CIB et ABQ. On voit qu'il reste un triangle équilatéral vide ! Pareil dans les sept autres zones ! On obtient :

Colorié par triplet de triangles ... La suite après !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (22-02-2024 17:40:24)

jelobreuil · 21-02-2024 09:39:16

Bravo, Bernard, pour tous ces dessins superbes !
Bien amicalement, JLB

Bernard-maths · 21-02-2024 10:43:13

On continue !

Cet objet a donc 3 fois 8 = 24 faces plus 8 trous. Trous qu'on peut boucher, on a alors 32 faces !

Sur : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ … re.htm#top

on trouve comme nom "Triacontadoèdre" pour "trente" et "deux" ... On peut remarquer qu'il est inscrit dans une sphère, puisque les trois octogones sont inscrits dans trois cercles qui sont des grands cercles de la sphère de centre O et rayon OA = a, a = 1 ici.

Si on cherche à diminuer le nombre de faces, on peut se dire que les trois triangles rouges PQI, ABQ et BCI, sont dans trois plans qui vont se "couper" en un seul point ... point qui sera sur la droite (OZ), Z étant le centre de BIQ. Droite d'équation : x = y = z. Il suffit donc de chercher une seule des trois équations de plans, et d'en chercher l'intersection avec la droite ...

Pour PQI, on a P(0, 0, a), Q(a.rac2/2, 0, a.rac2/2) et I(0, a.rac2/2, a.rac2/2), où rac2 est la racine de 2 = 1,4142...

Voilà pour moi l'occasion de faire un aparté ! La suite s'enchainera après ... JLB.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-02-2024 13:04:10)

Bernard-maths · 21-02-2024 13:34:01

Un, deux trois ... ah, partez !

Regardons cette image : nous y voyons un demi octaèdre en bleu, dont les quatre triangles prolongent les quatre triangles de sommet P et construits sur le carré ISNQ de notre polyèdre. Pour dire cela, j'utilise les multiples symétries de la figure.

Cet octaèdre est construit sur le carré Q1I1Q2I2 ... il faut connaître les coordonnées de I1 ...intersection de la droite(PI) avec l'axe (y'y), et contenu dans le plan (yOz).

Dans le triangle POI1, Thalès nous dit : (zP-zO)/(zP-zI) = (yI1-yO)/(yI-yP). Ce qui devient : a/(a-a rac2/2)=yI1/(a rac2/2), ...
soit yI1 = (a rac2/2) / (1-rac2/2) = a (rac2/2)(1+rac2/2) / (1 - (rac2/2)²) = a (rac2/2 - 1/2) / (3/2) = a (1 + rac2).

Donc on a I1(0, a (1 + rac2), 0) , Q1(a (1 + rac2), 0, 0).

On en déduit qu'une équation du carré Q1I1Q2I2 est : |x| + |y| = a (1 + rac2). Pour l'octaèdre il faut ajouter k |z| et calculer k pour que le sommet soit en z = a ... Donc |x| + |y| + k |z| = a (1 + rac2), et z = a pour x = y = 0. Soit : k = (1 + rac2). L'octaèdre a pour équation : |x| + |y| + (1 + rac2) |z| = a (1 + rac2).

On en déduit que du côté des x, y et z > 0, l'équation du plan (PQI) est : x + y + (1 + rac2)z = a (1 + rac2).

L'aparté est fini !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-02-2024 08:19:37)

Bernard-maths · 21-02-2024 14:10:29

La suite, après aparté !

On en était à chercher les coordonnées du point Z (on le déplace ...) tel que les trois plans se coupent. Donc pour x = y = z dans l'équation du plan (PQI).
Ce qui donne : x + x + x (1 + rac2) = a (1 + rac2) ; x(3 + rac2) = a(1 + rac2) ;
x = a(1 + rac2)/(3 + rac2) = a(1 + rac2)(3 - rac2)/((3 + rac2)(3 - rac2)) = a(1 + 2rac2)/7 !
d'où Z(a(1 + 2rac2)/7, a(1 + 2rac2)/7, a(1 + 2rac2)/7 ), ou encore Z(x0, x0,x0) avec x0 = a(1 + 2rac2)/7 ...

Plaçons maintenant ce pointZ, et traçons les trois triangles oranges entre les trois rouges :

On peut constater que les triangles rouges et oranges sont deux à deux dans un même plan ...

On peut donc remplacer deux triangles par un quadrilatère, allons y. On efface les triangles et on trace les quadrilatères !

Plaçons d'abord les points Z (±x0, ±x0, ±x0) ... et traçons les 24 quadrilatères :

Colorons par zones de quatre :

On peut maintenant admirer l'icositétraèdre à 24 faces. Ces faces sont des cerfs-volants (presque des trapèzes ...).

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-02-2024 08:24:31)

Rescassol · 21-02-2024 19:40:08

Bonsoir,

Bernard, connais tu le logiciel "Great Stella" ?

Cordialement,
Rescassol

Bernard-maths · 21-02-2024 20:06:05

Bonsoir Rescassol !

NON ! Je n'ai plus le temps d'apprendre de nouveaux logiciels, cela est "trop long" ... Il y en a plein !

Mais si c'est super je peux essayer ...

Alors ?

Je dois préciser : je cherche des équations à tracer, pas des "dessinateurs". Bien que, comme je l'ai dit en démarrant, dessiner est un plaisir aussi. Mais trouver des équations est un autre plaisir, auquel je m'adonne de plus en plus !

Et comme je vais le faire dans la suite ...

Cordialement (t') aussi,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-02-2024 20:15:23)

Bernard-maths · 21-02-2024 20:27:10

Bonsoir !

Et si on parlait équation(s) ? Alors je vais vous proposer une 1ère approche pour trouver une équation de l'icositétraèdre précédent.

Si on reprend l'octaèdre bleu du début, on voit qu'il enveloppe en partie le polyèdre, et plus précisément qu'il coïncide avec les deux calottes bleues. On peut faire de même ave un octaèdre rouge pour les calottes rouges, et de même pour les calottes vertes !

On voit alors que le polyèdre est à l'intersection des trois octaèdres bleu, rouge et vert ... (la figure est un peu difficile à décoder).

Alors nous connaissons les équations des trois octaèdres ...

nous avons vu en aparté que c'était : |x| + |y| + (1 + rac2) |z| - a (1 + rac2) = 0.

Par permutations circulaires sur les coordonnées, on a alors les équations des octaèdres rouge et vert :

|y| + |z| + (1 + rac2) |x| - a (1 + rac2) = 0 et |z| + |x| + (1 + rac2) |y| - a (1 + rac2) = 0.

Alors ? Il faut se rappeler qu'une équation de surface comme |x| + |y| + (1 + rac2) |z| - a (1 + rac2) = 0 définit une fonction 3D f(x,y,z) = |x| + |y| + (1 + rac2) |z| - a (1 + rac2), qui partage l'espace en trois zones !

D'abord celle de la surface pour f(x,y,z) = 0 ; ensuite à "l'intérieur de la surface" on a ici f(x,y,z) du signe de f(0,0,0) < 0, pour le point O ; et à "l'extérieur de la surface", on f(x,y,z) de signe contraire à l'intérieur, donc f(x,y,z) > 0.

Alors ? Il existe une "merveilleuse" fonction max qui a la faculté de partir de zones où f(x,y,z) est < 0, et de s'arrêter au niveau de f(x,y,z) = 0 ... si on la programme par :

max(|x| + |y| + (1 + rac2) |z| - a (1 + rac2) , |y| + |z| + (1 + rac2) |x| - a (1 + rac2) , |z| + |x| + (1 + rac2) |y| - a (1 + rac2)) = 0 !

On doit avoir comme résultat l'icositétraèdre.

Pour cela je dois passer sur un programme qui utilise cette fonction max, et pour moi c'est Maple. Je complèterai donc cela demain ...

Bonne soirée, Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (21-02-2024 21:02:42)

Bernard-maths · 22-02-2024 11:45:33

Bonjour !

Voilà des équations ... les trois octaèdres, et l'icosaèdre :

Bernard-maths

Bernard-maths · 22-02-2024 17:42:03

Bonjour !

ALORS : POUR LE PLAISIR DES EQUATIONS EN GEOMETRIE !

Voyons maintenant la méthode des prismes.

Dans le plan on voit les cas du rectangle, du losange ... et finalement pour que C1 se projette à l'intérieur du segment [A1B1] il faut, et il suffit, que C1 soit dans la bande de plan limité par les 2 droites rouges, perpendiculaires au segment, à ses extrémités ...

Si on passe en 3D :

ABC est un triangle dans le plan jaune. On trace les trois plans bleus perpendiculaires au plan jaune et passant chacun par un côté de ABC. Ils se coupent suivant les trois droites noires perpendiculaires aussi au plan jaune. Ces trois plans bleus délimitent un prisme mauve perpendiculaire à ABC.
Pour qu’un point de l’espace se projette sur le triangle ABC, il faut, et il suffit, qu’il soit situé à l’intérieur du prisme droit construit sur ABC.
Par exemple M en vert se projette en O dans ABC ; au contraire N en bleu se projette en P en dehors de ABC.

la suite ... suit ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-02-2024 08:30:26)

Bernard-maths · 22-02-2024 17:44:17

Bonjour, la suite avec un octaèdre ...

Prenons maintenant l’exemple d’un octaèdre régulier, d’équation bien connue : |x|+|y|+|z|=1.

Avec A(1,0,0), B(0,1,0), C(-1,0,0), D(0,-1,0), N(0,0,1) et S(0,0,-1).

Les 8 faces sont des triangles équilatéraux de côté égal à √2.

Le plan de la face ABN a pour équation : x + y + z – 1 = 0 et la distance du centre O à chaque face est donc égale à 1/√3 = √3/3 ≈ 0.577.

Cet octaèdre a de multiples plans et axes de symétrie, et O comme centre de symétrie …

Nous devons tracer les prismes droits construits sur chaque face de l’octaèdre. Commençons par ceux de deux faces opposées ABN et CDS … ne gardons visibles que ces deux faces pour commencer.

Ces deux prismes ont pour hauteur limitée la distance entre les deux faces : 2 √3/3 ≈ 1.154.
En tournant la figure jusqu’à être perpendiculaire aux deux faces, on remarque alors que les deux prismes dessinent un hexagone régulier, « inscrit » dans chaque face.

On peut donc remplacer les deux prismes triangulaires de deux faces opposées par un seul prisme hexagonal.
Traçons cet hexagone, ses sommets sont aux tiers des côtés du triangle ABN. Soit A1, A2, N1, N2, B1 et B2.

Voilà en vert ce prisme hexagonal. Il faut tracer les trois autres pour les trois autres paires de faces opposées.
On peut procéder par des rotations de 90° autour de l’axe (z’z), ce qui donne, en 4 couleurs … vert, orange, bleu et mauve. Cette dernière vue est assez difficile à être bien vue …

Et n’oublions pas que ce l’on cherche, c’est l’intersection de ces quatre prismes …

Je joins une copie du programme GeoGebra. Vous pourrez vous amuser à positionner un prisme sur les différentes faces d'un octaèdre ! Les bonnes valeurs pour la "première" face sont r = 0.47, alpha0 = 30°, ori = 45°, inc = 54.74°.

https://www.cjoint.com/doc/24_02/NBmh4q … -02-12.ggb

Dernière modification par Bernard-maths (23-02-2024 08:33:47)

Bernard-maths · 22-02-2024 17:45:19

Bonjour, quelques équations ...

N'ayant pas avec GeoGebra de moyen simple pour déterminer l'objet cherché, je me tourne vers les équations de prisme et la résolution de leur "système" au moyen de Maple.

α étant la lettre grecque "alpha" qui désigne ici un angle ... considérons un hexagone de centre O et dont un sommet est A ((a cos(0α + α0), a sin(0α + α0)) pour p = 0, les sommets ayant pour coordonnées (a cos(pα + α0), a sin(pα + α0)), pour p = 0 à 5. Ici α = 360°/ n = 60°, n = 6, nombre de côtés.
Avec α0 variable, permettant de faire tourner l’hexagone autour du point O. (α0 se lit "alpha 0", un angle).

Ce qui nous intéresse ici, ce sont les équations des trois diagonales :
eq0: x sin(0α + α0) - y cos(0α + α0)= 0 ; eq1: x sin(1α + α0) - y cos(1α + α0)= 0 ; eq2: x sin(2α + α0) - y cos(2α + α0)= 0.

Alors une façon simple d’avoir une équation d’hexagone est de définir :
c(x,y) = abs(x sin(0α + α0) - y cos(0α + α0)) + abs(x sin(1α + α0) - y cos(1α + α0)) + abs(x sin(2α + α0) - y cos(2α + α0))

Puis d’écrire : c(x,y) = c(x(A), y(A)), ce qui fera passer l’hexagone par le point A (et les 5 autres …).

On obtient alors la figure :

L'hexagone vert est tracé par son équation, qui est :

eq3 : abs(x sin(0α + α0) - y cos(0α + α0)) + abs(x sin(1α + α0) - y cos(1α + α0)) + abs(x sin(2α + α0) - y cos(2α + α0)) = c(x(A), y(A))

Je signalais ces équations ici : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 094#p98094

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (27-02-2024 21:06:32)

Bernard-maths · 01-03-2024 13:50:05

Bonjour, essayons la suite ...

Il va falloir incliner et orienter les prismes, ceci par deux rotations.

Partons d'un repèré ON, et soit M0 un point du demi axe (Oz). Une première rotation d'angle β (bêta en mauve) autour de l'axe (Oy) amène M0 en M1. Une seconde rotation d'angle δ (delta en marron) autour de (Oz) amène M1 en M2.

Après quelques calculs ... on aboutit aux formules :

En inclinaison : x’ = (x.cos(β) – z.sin(β)) et z’ = (-x.sin(β) – z.cos(β))
En orientation : x’ = (x.cos(δ) + y.sin(δ)) et y’ = (x.sin(δ) – y.cos(δ))

Ce qui veut dire que dans l'équation du prisme droit, il faut remplacer (successivement) x par l'expression de x', z par celle de z', y par celle de y' ... sans se mélanger les pédales (avis de cycliste), et on arrive à l'équation basique suivante, pour le prisme hexagonal :

abs((x*sin(β0) - y*cos(β0))*cos(α0 + 0*α) - ((x*cos(β0) + y*sin(β0))*cos(δ0) + z*sin(δ0))*sin(α0 + 0*α)) + abs((x*sin(β0) - y*cos(β0))*cos(α0 + α) - ((x*cos(β0) + y*sin(β0))*cos(δ0) + z*sin(δ0))*sin(α0 + α)) + abs((x*sin(β0) - y*cos(β0))*cos(α0 + 2*α) - ((x*cos(β0) + y*sin(β0))*cos(δ0) + z*sin(δ0))*sin(α0 + 2*α)) ) – st0 = 0

L'indice 0 est pour un premier prisme noté 0, on duplique cette formule en mettant un indice 1 pour un deuxième prisme noté 1, un indice 2 pour un troisième, etc !

sto (st zéro) est la somme totale associée à la formule ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (02-03-2024 18:20:18)

Bernard-maths · 01-03-2024 16:16:00

Et voici ce que ça donne avec Maple :

Image colorée pour ne pas se mélanger les pédales !

Icositétraèdre trapézoïdal correspondant à l'intersection de ces quatre prismes hexagonaux :

Voilà, c'est tout pour l'icositétra, bien qu'on puisse en rajouter ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (01-03-2024 17:53:00)

Bernard-maths · 01-03-2024 18:00:41

Bonsoir à tous !

Après l'icositétraèdre, il y en a d'autres ...

Nous sommes partis de la projection d'un point intérieur à l'octaèdre régulier, point qui se projette à l'intérieur des huit faces.

Nous avons vu que pour le cube, on retrouve le cube. Pareil pour un tétraèdre régulier !

Voilà donc trois solides de Platon passés en revue, qu'en est-il des deux autres ? Dodécaèdre et icosaèdre réguliers ???

Eh bien, les prismes fonctionnent bien.

Pour le dodécaèdre, à douze faces, on utilise six prismes décagonaux, car les faces du dodéca sont des pentagones réguliers. Pour l'icosaèdre, à vingt faces équilatérales, on utilise dix prismes hexagonaux. Cela fait des formules assez longues, mais ça fonctionne !

Pour le dodécaèdre, on trouve l'hexacontaèdre trapézoïdal, à voir sur Mathcurve : https://mathcurve.com/polyedres/hexacon … idal.shtml

Pour l'icosaèdre, on trouve le pentaki-dodécaèdre, sur mathcurve :
https://mathcurve.com/polyedres/pentaki … edre.shtml

Au "hasard" des réglages, selon la valeur de α0, on trouve aussi le triacontaèdre rhombique :
https://mathcurve.com/polyedres/triacon … ique.shtml

Je vous donne les images obtenues avec mes équations sur Maple ...

Vous avez l'hexacontaèdre trapézoïdal, le pentaki-dodécaèdre, et le triacontaèdre.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-03-2024 18:22:17)

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#1 11-02-2024 19:21:48

ICOSITETRAEDRE TRAPEZOIDAL, vous connaissez ?

#2 21-02-2024 08:45:59

Re : ICOSITETRAEDRE TRAPEZOIDAL, vous connaissez ?

#3 21-02-2024 09:39:16

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#4 21-02-2024 10:43:13

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#5 21-02-2024 13:34:01

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#6 21-02-2024 14:10:29

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#7 21-02-2024 19:40:08

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#8 21-02-2024 20:06:05

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#9 21-02-2024 20:27:10

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#10 22-02-2024 11:45:33

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#11 22-02-2024 17:42:03

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#12 22-02-2024 17:44:17

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#13 22-02-2024 17:45:19

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#14 01-03-2024 13:50:05

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#15 01-03-2024 16:16:00

Re : ICOSITETRAEDRE TRAPEZOIDAL, vous connaissez ?

#16 01-03-2024 18:00:41

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