Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Rachid ah

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Les médianes dans un triangle rectangle

Bonjour
Svp j'arrive pas à résoudre cet exercice de géométrie :
ABC est un triangle rectangle en C tel que CB = racine carré de 2 * AC. Montrer que les deux medianes CM et AN sont perpendiculaires.
Merci à vous infiniment.

Michel Coste

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Re : Les médianes dans un triangle rectangle

Bonjour,
Quels outils as-tu à ta disposition ? Tu peux travailler avec le produit scalaire, ou calculer les pentes des deux droites dans un repère orthonormé adéquat ou ...

Rachid ah

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Re : Les médianes dans un triangle rectangle

Bonjour M. Michel,
Merci pour votre réponse. Niveau 4ème ( Pythagore, Thales, Médiane de l'hypoténuse, le centre de gravité...) pas encore le produit scalaire.
Merci beaucoup.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Les médianes dans un triangle rectangle

Une suggestion sans parole :

DeGeer

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Re : Les médianes dans un triangle rectangle

Bonjour M. Michel,
Merci pour votre réponse. Niveau 4ème ( Pythagore, Thales, Médiane de l'hypoténuse, le centre de gravité...) pas encore le produit scalaire.
Merci beaucoup.

Bonsoir
Le programme de géométrie de collège ayant été réduit à peau de chagrin, je ne suis pas sûr que cet exercice soit effectivement réalisable avec des outils de 4ème
Sinon, pour répondre, tu peux commencer par supposer que $AC=1$ pour simplifier les calculs, puis calculer $AB$, $AM$, $CM$ (ces deux dernières longueurs étant égales), $AN$. En notant $P$ le point d'intersection des médianes, tu peux ensuite calculer les longueurs $CP$ et $AP$ puis conclure avec la réciproque du théorème de Pythagore.

Rachid ah

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Re : Les médianes dans un triangle rectangle

Bonsoir M. DeGeer,
J'ai essayé plusieurs fois mais j'arrive pas à avoir les mêmes résultats pour la réciproque de Pythagore je comprends pas.
https://drive.google.com/file/d/1yEB_hS … p=drivesdk

Michel Coste

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Re : Les médianes dans un triangle rectangle

Tu as vu mon dessin ?
ANDC est un parallélogramme.
Tu peux calculer $CM^2$, $CD^2$ et $MD^2$. Conclusion ?

Borassus

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Re : Les médianes dans un triangle rectangle

Bonsoir, ou plutôt bonjour, Rachid ah,

Je te propose la voie suivante :

Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse. Donc $CM = AM = MB = \dfrac {AB}{2}$

D'autre part, CN est égale à la moitié de BC.

Enfin, le point d'intersection des médianes (le centre de gravité G) coupe chaque médiane dans le rapport 2/3 , 1/3 (2/3 en partant du sommet).
Donc $GN = \dfrac {AN}{3}$   et  $CG = \dfrac {2CM}{3}$

Il te reste à calculer $CN^2$ , $CG^2$ et $GN^2$ , sachant que $AN^2$ et $AB^2$ se calculent à la l'aide du fameux théorème de Pythagore.

Si les deux médianes [CM] et [AN] sont perpendiculaires, le triangle CGN est rectangle...
Donc, à toi de jouer.  :-)