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Ossekour

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Orthogonalité d'une forme quadratique dégénérée

Bonsoir,

Je cherche à répondre à la question suivante : "si [tex]b[/tex] est une forme bilinéaire symétrique ou alternée dégénérée sur [tex]E[/tex], un [tex]\mathbb{K}[/tex]-espace vectoriel de dimension finie : peut-on écrire tout sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex] comme l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel pour [tex]b[/tex] ?"

Je pense que la réponse est non, et pour montrer que c'est faux, je souhaite montrer que [tex]\mbox{Ker}(b)[/tex] (qui est bien un sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex]) ne peut pas être écrit comme l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex]. Mon choix se porte sur le noyau car puisque [tex]b[/tex] est dégénérée, on a [tex]\mbox{Ker}(b) \neq \{ 0_E \}[/tex]. Je suppose donc que [tex]\mbox{Ker}(b)=A^{\perp}[/tex], et j'essaie d'aboutir à une contradiction, [tex]\mbox{Ker}(b)=\{ 0_E \}[/tex] j'imagine.

On a toujours [tex]\mbox{Ker}(b) \subset A^{\perp}[/tex], donc c'est l'autre inclusion, [tex]A^{\perp} \subset \mbox{Ker}(b)[/tex] qui est, a priori, absurde.

Je ne vois pas comment conclure, malgré plusieurs tentatives d'utiliser les propriétés générales des orthogonaux (valables même lorsque [tex]b[/tex] est dégénérée). Auriez-vous s'il vous plaît une indication ou une solution pour me débloquer ?

Merci pour votre attention.

Glozi

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Re : Orthogonalité d'une forme quadratique dégénérée

Bonsoir,
A-t-on un espace $F$ tel que $F^\perp=\{0\}$ ?
Bonne soirée

Ossekour

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Re : Orthogonalité d'une forme quadratique dégénérée

Bonsoir,

Merci pour votre aide. J'ai du mal à comprendre l'intérêt de démontrer un tel résultat : si un tel [tex]F[/tex] existe, on ne peut rien en tirer puisqu'on n'a pas le choix sur l'espace vectoriel tel que [tex]\mbox{Ker}(b)=A^{\perp}[/tex], et si au contraire, pour tout sous-espace vectoriel [tex]F[/tex], [tex]F^{\perp} \neq \{ 0_E \}[/tex], alors on n'a pas de contradiction avec le fait que [tex]\mbox{Ker}(b) \neq \{ 0_E \}[/tex]. Est-ce qu'il faut laisser tomber l'idée du noyau, ou alors je me trompe quelque part ?

Dans tous les cas, je n'arrive pas intuitivement à construire un tel [tex]F[/tex]. J'ai essayé par analyse-synthèse, mais je n'arrive à rien.

Glozi

Invité

Re : Orthogonalité d'une forme quadratique dégénérée

C'est plutôt bon signe si tu n'arrives pas à trouver de tel $F$.
Sinon, souviens toi que $\{0\}$ est un exemple de sous espace vectoriel de $E$.
(je n'ai pas compris ce que tu cherches à faire avec $\text{Ker}(b)$ ?)

Ossekour

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Re : Orthogonalité d'une forme quadratique dégénérée

Glozi,

C'est bon j'ai compris. S'il existait un sous-espace vectoriel [tex]F[/tex] tel que [tex]\{ 0_E \}=F^{\perp}[/tex], alors l'inclusion [tex]\mbox{Ker}(b) \subset F^{\perp}[/tex], vraie en général, impliquerait que [tex]\mbox{Ker}(b) = \{ 0_E \}[/tex], ce qui est impossible car [tex]b[/tex] est supposée dégénérée.

Merci infiniment de m'avoir débloqué.

Bonne soirée !