Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Blubber

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Question nomenclature

Bonjour.

J'aurais besoin de vos avis sur un petit problème de nomenclature.
Dans une phrase telle que

Un patron dépense 1 659€ par mois pendant 12 mois afin de payer un employé.

Que devrait-on considérer êtres le multiplicateur et le multiplicande ?

Naïvement, et sans vraiment avoir de justification, j'aurais tendance à dire que le nombre de mois est le multiplicande et le salaire le multiplicateur ("par mois").
Mais rien est moins sûr.

Merci et bonne fin de soirée.

Blubber

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Re : Question nomenclature

PS. J'ai pris un nombre au pif, évidement (et heureusement) un employeur paie plus, avec les charges sociales. :P

Dernière modification par Blubber (08-02-2024 19:09:44)

yoshi

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Re : Question nomenclature

Re,

Pour moi, le multiplicande est 1659, c'est la quantité qui est multipliée au fil des mois, en restant constante :
1659 * 2 =  3318
1659 * 3 =  4977
1659 * 4 =  6636
1659 * 5 =  8295
1659 * 6 =  9954
1659 * 7 = 11613
1659 * 8 = 13272

@+

Bernard-maths

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Re : Question nomenclature

Bonsoir !

Cela paraît un peu arbitraire ... un produit étant commutatif !

Allez ! Voir par exemple :

https://les-mathematiques.net/vanilla/d … licateurla

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (08-02-2024 19:19:38)

Blubber

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Re : Question nomenclature

Rebonjour yoshi.

Ah pas idiot ! Mais d'un autre côté, si on demande l'inverse : combien paie par mois un employeur qui dépense $19 908$ par an (en $12$ mois) ? On se retrouve avec $19 908$ en dividende et $12$ en diviseur. C'est pour cela que j'ai un énorme doute sur quoi est quoi.

Merci en tout cas, tes messages sont toujours des plus éclairants et ont la fâcheuse (bonne) tendance à faire réfléchir. :P

Blubber

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Re : Question nomenclature

Bonsoir Bernard-maths.

Bien sûr que la multiplication est commutative !
Néanmoins, comme tous les enfants le savent, 10 carambars à 50 centimes, ce n'est pas la même chose que 50 carambars à 10 centimes. :)

Bonne soirée.

Dernière modification par Blubber (08-02-2024 19:23:41)

Blubber

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Re : Question nomenclature

Rebonjour yoshi.

Ah pas idiot ! Mais d'un autre côté, si on demande l'inverse : combien paie par mois un employeur qui dépense $19 908$ par an (en $12$ mois) ? On se retrouve avec $19 908$ en dividende et $12$ en diviseur. C'est pour cela que j'ai un énorme doute sur quoi est quoi.

Merci en tout cas, tes messages sont toujours des plus éclairants et ont la fâcheuse (bonne) tendance à faire réfléchir. :P

Je me rends compte que je raconte n'importe quoi. :D
Effectivement, en suivant cette logique yoshi à raison : 1659 est le multiplicande et 12 le multiplicateur.

Comme toujours, notre modérateur est un grand sage qu'il faut prendre le temps de lire correctement.

Bonne soirée !

yoshi

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Re : Question nomenclature

Re,

En v'la un compliment qui fait du bien... et meuh non, tu ne dis pas n'importe quoi !
Montaigne, lui, a écrit : << Mon esprit ne va si mes jambes ne l'agitent. >>
Ce que tu as adapté en : << Mon esprit ne va si mes doigts ne l'agitent. >>
Je n'ai pourtant pas assez détaillé ma pensée. J'aurais dû mais ça m'a paru tellement évident parce que c'est une question que je suis souvent posée en 6e...
Quand bien même la multiplication soit commutative (Deo gracias !), c'était une question intéressante et pas si anodine que ça : ce distinguo a fait partie de mon quotidien arithmétique  quand j'étais élève en primaire (Hein, B-m ?! Pas toi ?), ce qui remonte déjà à "quelques" (D'ici un peu plus d'1 mois, je recevrai une paire de 7) années.

Maintenant, s'il y avait querelle sur le sujet, elle serait qualifiée de byzantine ... ^_^
A disposition pour développer ma pensée...

@+

Dernière modification par yoshi (08-02-2024 22:05:57)

Blubber

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Re : Question nomenclature

Rebonsoir !

Ce compliment est totalement mérité !
À chaque fois, ou presque, que je lis un de tes posts, j'apprends toujours quelque chose. Ce n'est pas donné à tout le monde de faire cet effet.

D'ailleurs, comme toujours, tu me vois impatient de lire ta pensée développée sur ce sujet ; du moins si tu as l'envie, bien entendu.

Ernst

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Re : Question nomenclature

Naïvement, et sans vraiment avoir de justification, j'aurais tendance à dire que le nombre de mois est le multiplicande et le salaire le multiplicateur ("par mois").
Mais rien est moins sûr.

Bonjour,

j’étais en train de lire une présentation qui parlait d’opérateur et d’opérandes. L’opérateur, c’était la commande, les opérandes, c'étaient les paramètres qu’on lui fournissait. Dans le cas d’appels récursifs par exemple, un fonction peut très bien devenir elle-même un paramètre, et donc changer de statut lors d’une étape ou d’une autre. Je me demande dans quelle mesure il ne faut pas utiliser multiplicande et multiplicateur dans le même esprit, l'important étant d'être compris, plutôt que de les assigner de façon définitive, surtout que les multiplications n’ont pas toutes uniquement deux termes.

(en passant, en tant qu’amateur je ne me souviens pas avoir jamais utilisé multiplicande, multiplicateur déjà plus, en général c’est le terme facteur que je préfère)

Bernard-maths

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Re : Question nomenclature

Bonjour à tous !

En voilà deux qui ont tiré les deux fèves du gâteau ...

Certains vous diront qu'il faut faire le tri entre les deux termes, d'où l'appel à facteur de Ernst ? (;-)

J'ai tendance à rejoindre Yoshi ... Si 10000€ est une somme à partager, 10000 est donc le dividande et le nombre de personnes le diviseur.

Si j'ai un ptit boulot saisonnier à proposer (de 500€) et que j'ai n personnes, alors 500 est le multiplicande et n le multiplicateur ... non ?

Pour moi il y a une pensée du genre "ce qui est "constant" est le multiplicande, ce qui est "variable" est le multiplicateur".

Voilà, maintenant vous en faites ce que vous voulez !

@ +, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-02-2024 12:06:00)

Blubber

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Re : Question nomenclature

Bonjour.

Vous avez raison en un certain sens, tout ceci n'est probablement pas très utile en soi. Néanmoins, je fais partie des personnes qui pensent qu'on ne peut maitriser un sujet sans savoir de quoi on parle ; autrement dit, en mettant les bons mots aux bons concepts. Le souci des termes uniques tels que « multiplicateur » ou « facteur » est que, du fait de la commutativité de la multiplication, on a aussi bien
$$\underbrace{a}_{\text{multiplicateur/facteur}}\times b$$
que
$$a\times \underbrace{b}_{\text{multiplicateur/facteur}}$$
Comment alors trancher qui est qui ?

On pourrait tout à fait adopter une convention qui dirait que c'est la deuxième forme qui est correct, et que $b$ est le multiplicateur. Soit. Dans ce cas, ça revient à dire que $a$ est le multiplicande… donc autant avoir les bons mots directement, non ? ^^

Dans un genre un peu différent, si je demande d'effectuer la division $23\div 7$, qu'est-ce que ça veut dire ?
Faut-il calculer jusqu'à la dernière décimale (sachant que ça risque d'être très long… sagissant de deux nombres premiers) ?

Ou bien faut-il calculer $23=7\times 3+2$ ?

J'imagine que si on voulait calculer un quotient précis on demanderait de calculer ledit quotient à $10^{-n}$ près ; et que donc ici, le verbe « effectuer », nous demande de trouver la deuxième forme $23=7\times 3+2$.

Pour autant, je ne me souviens pas qu'on m'ait expliqué ce que veut dire « effectuer » dans ce contexte : je ne saurais donc dire avec certitude ce que la question attend de moi.

yoshi

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Re : Question nomenclature

Bonjour,

(en passant, en tant qu’amateur je ne me souviens pas avoir jamais utilisé multiplicande, multiplicateur déjà plus, en général c’est le terme facteur que je préfère)

Multiplicande et multiplicateur sont bien les deux facteurs d'un produit de 2 nombres.
Tu ne te souviens pas...etc. ?
Ça ne me choque pas, probablement es-tu trop jeune pour qu'on ait évoqué ces termes...
On a dû cesser d'évoquer la notion de multiplicande durant mon passage au Lycée... En tout cas aujourd'hui, ces deux mots ont été relégués aux oubliettes des mathématiques : de toute ma carrière, je ne l'ai jamais à nouveau rencontrée

Pour moi si on reste dans le domaine de l'abstrait :
1659 * 12 ou 12 * 1659, la notion de multiplicande n'est pas fondamentale, elle n'est définie que par la convention (arbitraire) dont je me souviens) :
le multiplicande est à gauche  du symbole  x  et le multiplicateur à droite...
le radicande est la quantité sous le radical, celle dont extrait la racine carrée ; l'intégrande, l'expression à intégrer et donc le multiplicande, la quantité à multiplier
Cette convention (gauche/droite) n'a de sens que si on rentre dans le concret :
1659 € par mois pendant 12 mois..
Sinon, oui, B-m avait raison d'invoquer la commutativité et je le rejoins quand il écrit :
Pour moi il y a une pensée du genre "ce qui est "constant" est le multiplicande, ce qui est "variable" est le multiplicateur".

Je me souviens même qu'en CM2 (en 1957), je ne devais pas écrire
1659 F * 12
mais
1 F x 1659 x 12...

De même que si 6e/5e, je pose :
La somme de 2 nombres est 25. Sachant que l'un des deux est supérieur à l'autre de 5, quels sont ces deux nombres, les calculs suivants sont licites :
25/2 = 12,5
5/2 = 2,5
Le plus grand nombre est 12,5+2,5 = 15
Le plus petit est 12,5-2,5 =10

Mais, pourtant je refusais systématiquement le même procédé dans l'énoncé :
Une classe de 6e comporte 25 élèves. Je dois la partager en 2 groupes dont l'un comptera 5 élèves de plus que l'autre.
Combien y a-t-il  d'élèves dans chaque groupe ?

Et aux protestations (mes calculs sont justes, j'ai les bonnes réponses), je répondais invariablement que dans ce cas, je proposais de réaliser cette répartition et que j'avais donc besoin de deux volontaires pour être coupés en 2... Mais, me voulant rassurant, je promettais de recoller proprement les morceaux...

@+

Borassus

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Re : Question nomenclature

Bonsoir Bernard-maths.

Bien sûr que la multiplication est commutative !
Néanmoins, comme tous les enfants le savent, 10 carambars à 50 centimes, ce n'est pas la même chose que 50 carambars à 10 centimes. :)

Bonne soirée.

Bonjour Blubber,

J'utiliserai cet exemple très juste, et très parlant pour des ados pas vraiment éloignés de leur enfance !  :-)
(J'utilise comme exemple : à la suite d'un contrôle surprise, quelle est la différence entre $3 \times 18$ et $18 \times 3$ ?)

Sinon, pour répondre à ta question, la logique de calcul est à mon sens est $12 \times 1659$, qui est le principe de toutes les facturations : nombre d'unités multiplié par le prix unitaire.
On retrouve bien cette logique en utilisant les unités : 12 mois à raison de 1669 euros par mois.

Dernière modification par Borassus (09-02-2024 16:06:14)

Borassus

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Re : Question nomenclature

Ou bien faut-il calculer $23=7\times 3+2$ ?

C'est un des (nombreux) points sur lesquels je me bagarre :
$23=7\times 3+2$ représente la division euclidienne de 23 par 3 (23 est multiple de 3 à 2 unités près)
$23 = 3 \times 7 + 2$ représente la division euclidienne de 23 par 7 (23 est multiple de 7 à 2 unités près)

Telle que tu as posé ta division, $23 = 3 \times 7 + 2$

Michel Coste

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Re : Question nomenclature

Bonjour,

Faut-il calculer jusqu'à la dernière décimale (sachant que ça risque d'être très long… sagissant de deux nombres premiers) ?

Pas temps que ça, puisque dès qu'on a le même reste les choses se répètent : $\dfrac{23}7=3,\overline{285714}$ (et en plus, c'est exact).

Blubber

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Re : Question nomenclature

Bonsoir.

Bonjour,
Pas temps que ça, puisque dès qu'on a le même reste les choses se répètent : $\dfrac{23}7=3,\overline{285714}$ (et en plus, c'est exact).

Yep. En effet. Toutefois, en prenant en compte que je tire cette question d'un livre de sixième (ou de cm2 ? Je ne sais plus), les élèves enfants de cet âge-là ne sont pas en mesure de s'en rendre compte sans faire toute cette opération :

Ça représente quand même 13 opérations afin de s'assurer qu'il y a répétition.

Telle que tu as posé ta division, $23 = 3 \times 7 + 2$

Il me semble que non. Je te propose un petit exercice tiré d'un vieux livre de sixième :

Considérez l'égalité $55=8\times 6+7$.

1. Traduit-elle la division de $55$ par $8$ ?

2. Traduit-elle la division de $55$ par $6$ ?

Justifiez vos réponses.

Après je n’exclus pas avoir mal compris quelque chose, mais la formulation $a=bq+r$ me donne la sensation que j'ai écris la bonne forme.

J'utiliserai cet exemple très juste, et très parlant pour des ados pas vraiment éloignés de leur enfance !  :-)

C'est cadeau. :) J'ai pas trouvé plus parlant pour expliquer la différence et en quoi la commutativité de la multiplication ne fonctionne plus dès qu'on entre dans le monde concret.

Sinon, pour répondre à ta question, la logique de calcul est à mon sens est $12 \times 1659$, qui est le principe de toutes les facturations : nombre d'unités multiplié par le prix unitaire.
On retrouve bien cette logique en utilisant les unités : 12 mois à raison de 1669 euros par mois.

Oui ! Pour ma défense, je me tiens loin des factures tant que je suis un pauvre petit étudiant en ayant encore la possibilité ! :P

le multiplicande est à gauche  du symbole  x  et le multiplicateur à droite...
le radicande est la quantité sous le radical, celle dont extrait la racine carrée ; l'intégrande, l'expression à intégrer et donc le multiplicande, la quantité à multiplier

Oh ! Je crois que je comprends enfin d'où viennent certains termes que je rencontrais parfois sans vraiment en comprendre l'origine (oui, je suis un peu bête des fois).

Je me souviens même qu'en CM2 (en 1957), je ne devais pas écrire
1659 F * 12
mais
1 F x 1659 x 12...

Après être passé par le lycée et les cours de physique/chimie où on "mélange" les grandeurs à multiplier ($kg\cdot m^2\cdot s^{-3}\cdot A^{-1}$, …), il ne m'aurait jamais traversé l'esprit de décomposer la grandeur en une unité et une quantité. Ce n'est pas idiot et je pense que je vais garder cette manière de faire à l'esprit et la réutiliser dès que j'en aurais l'occasion !

Dernière modification par Blubber (09-02-2024 17:22:17)

Michel Coste

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Re : Question nomenclature

Je ne suis pas d'accord. Je pense qu'un élève de 6e peut comprendre que quand il retrouve le reste 2 qu'il a déjà eu plus haut dans sa division à potence, à la première étape, les choses vont se répéter.

Blubber

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Re : Question nomenclature

Probablement. N'étant encore qu'un étudiant, je n'ai pas eu le loisir d'avoir de cobayes pour ce genre d'expérience ; j'aurais donc tendance à vous croire, après tout, un élève de sixième n'est pas plus bête que n'importe qui d'autre.
Je me dis simplement, qu'on ne peut être réellement sûr qu'il y a répétition qu'en la voyant intégralement : c'est alors visuellement là. Quoi que, après un ou deux exemples, j'imagine que c'est suffisant pour convaincre que c'est toujours le cas.

Dernière modification par Blubber (09-02-2024 17:30:19)

Michel Coste

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Re : Question nomenclature

"on ne peut être réellement sûr qu'il y a répétition qu'en la voyant intégralement"
Toujours pas d'accord. Si on a compris un tant soit peu le mécanisme de la division, à partir du moment où on "n'abaisse" que des 0, on est sûr de chez sûr que ça se répète si on retrouve le même reste.

Borassus

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Re : Question nomenclature

Telle que tu as posé ta division, $23 = 3 \times 7 + 2$

Il me semble que non. Je te propose un petit exercice tiré d'un vieux livre de sixième :

Considérez l'égalité $55=8\times 6+7$.

1. Traduit-elle la division de $55$ par $8$ ?

2. Traduit-elle la division de $55$ par $6$ ?

Justifiez vos réponses.

Après je n’exclus pas avoir mal compris quelque chose, mais la formulation $a=bq+r$ me donne la sensation que j'ai écris la bonne forme.

J'insiste : Un entier $b$ est multiple d'un entier $a$ s'il existe un entier $k$ tel que $b = k \times a$

Dans cette formulation, encadrée et mise en gras dans tous les manuels, $k$ est en premier.

Donc, $21 = 7 \times 3$ signifie que $21$ est multiple de $3$ ($k = 7$), et $23 = 7 \times 3 + 2$ signifie que $23$ est multiple de $3$ à $2$ unités près.
De même, $21 = 3 \times 7$ signifie que $21$ est multiple de $7$ ($k = 3$) , et $23 = 3 \times 7 + 2$ signifie que $23$ est multiple de $7$ à $2$ unités près.

Concernant la division, le dividende (le nombre qu'on divise) est égal au quotient (qui joue le rôle de $k$) fois le diviseur (le nombre par lequel le dividende est divisé) plus le reste.
Pour reprendre ta formulation, c'est $a = qb + r$ ($a$ est multiple de $b$ à $r$ unités près).

Malheureusement, on ne respecte beaucoup trop souvent pas la logique encadrée et mise en gras d'un entier multiple d'un autre !!

Concernant l'exercice que tu mentionnes, l'égalité ne peut être que la division par 8 car le reste 7 est bien strictement inférieur à 8, alors qu'il est supérieur à 6.

Ceci dit, je ne sais répondre à la question de vocabulaire posée.

Dernière modification par Borassus (09-02-2024 18:10:30)

Borassus

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Re : Question nomenclature

Si le reste de la division de $a$ par $b$ est nul, cela signifie bien que $a$ est multiple de $b$ : $a = qb$.
Ou que $b$ divise $a$.

Dernière modification par Borassus (09-02-2024 18:08:28)

Blubber

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Re : Question nomenclature

Tu as probablement raison. Néanmoins, va savoir quand tu n'es qu'un étudiant comme moi, qui a raison et qui a tort, lorsque toutes les ressources disponible se contredisent entre elles.
Par exemple, j'ai ça :

mais Lebossé-Hémery écrivent ce que tu me dis (et contreviennent à leur encadré comme tu le dis)

Tout ceci me laisse perplexe.

Borassus

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Re : Question nomenclature

Ancre-toi contre vents et marées sur la définition d'un entier multiple d'un autre : tout le reste en découle !

Tu te rendras alors compte à quel point les ouvrages manquent de rigueur et, surtout, de cohérence.

PS : J'ai l'impression que l'écriture $a = bq + r$ est parasitée par l'ordre alphabétique entre "b" et "q" (comme c'est souvent le cas en calcul littéral)...

Borassus

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Re : Question nomenclature

Comment fais-tu pour insérer des copies de pages ? L'icône Image demande une URL, alors que le résultat d'un scan est sur mon ordi ?